导数与函数零点的综合问题核心考点·精准研析考点一判断函数零点(方程根)的个数1.已知函数f(x)=3lnx-x2+2x-3ln3-,则方程f(x)=0的解的个数为.2.(2019·武汉模拟)已知函数f(x)=ex-ax-1(a∈R)(e=2.71828…是自然对数的底数).世纪金榜导学号(1)求f(x)的单调区间.(2)讨论g(x)=f(x)在区间[0,1]上零点的个数.【解题导思】序号联想解题1由方程f(x)=0的解想到函数f(x)的零点序号题目拆解2(1)f(x)的单调区间求f′(x)并分析其正负确定单调区间(2)g(x)在区间[0,1]上零点的个数讨论f(x)在[0,1]上的单调性,判断f(x)的零点个数,最后确定g(x)零点的个数.【解析】1.因为f(x)=3lnx-x2+2x-3ln3-(x>0),所以f′(x)=-x+2==,当x∈(0,3)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(3,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,所以f(x)max=f(3)=3ln3-+6-3ln3-=0,因为当x→0时,f(x)→-∞;当x→+∞时,f(x)→-∞,所以方程f(x)=0只有一个解.答案:12.(1)因为f(x)=ex-ax-1,所以f′(x)=ex-a,当a≤0时,f′(x)>0恒成立,所以f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞),无单调递减区间;当a>0时,令f′(x)<0,得x
0,得x>lna,所以f(x)的单调递减区间为(-∞,lna),单调递增区间为(lna,+∞).(2)令g(x)=0,得f(x)=0或x=,先考虑f(x)在区间[0,1]上的零点个数,①当a≤1时,f(x)在[0,1]上单调递增且f(0)=0,所以f(x)在[0,1]上有一个零点;②当a≥e时,f(x)在[0,1]上单调递减且f(0)=0,所以f(x)在[0,1]上有一个零点;③当1e-1或a=2(-1)时,g(x)在[0,1]上有两个零点;当10),令g(x)=0,得m=-x3+x(x>0).设φ(x)=-x3+x(x>0),则φ′(x)=-x2+1=-(x-1)(x+1),当x∈(0,1)时,φ′(x)>0,φ(x)在(0,1)上单调递增;当x∈(1,+∞)时,φ′(x)<0,φ(x)在(1,+∞)上单调递减.所以x=1是φ(x)的极大值点,也是φ(x)的最大值点.所以φ(x)的最大值为φ(1)=.由φ(0)=0,结合y=φ(x)的图像(如图),可知①当m>时,函数g(x)无零点;②当m=时,函数g(x)有且只有一个零点;③当0时,函数g(x)无零点;当m=或m≤0时,函数g(x)有且只有一个零点;当00,所以u(x)在(1,+∞)上单调递增,所以x=1时,u(x)取得极小值u(1)=-e,又x→+∞时,u(x)→+∞;x<2时,u(x)<0,所以-e0,所以g(x)在(1,+∞)上单调递增,所以x=1时,g(x)取得极小值g(1)=-e-m,又x→-∞时,g(x)→-m,所以-e
