2.1函数及其表示核心考点·精准研析考点一函数的定义域1.函数y=的定义域是()A.(-1,3)B.(-1,3]C.(-1,0)∪(0,3)D.(-1,0)∪(0,3]2.若函数y=f(x)的定义域是[0,2020],则函数g(x)=f(x+1)(x≠1)的定义域是()A.[-1,2019]B.[-1,1)∪(1,2019]C.[0,2020]D.[-1,1)∪(1,2020]3.(2020·抚州模拟)若函数f(x)的定义域为[0,6],则函数的定义域为()A.(0,3)B.[1,3)∪(3,8]C.[1,3)D.[0,3)4.函数f(x)=lg+(4-x)0的定义域为________.【解析】1.选D.由题意得解得-12且x≠3且x≠4,所以函数的定义域为(2,3)∪(3,4)∪(4,+∞).答案:(2,3)∪(3,4)∪(4,+∞)题2中,若将“函数y=f(x)的定义域是[0,2020]”改为“函数y=f(x-1)的定义域是[0,2020]”,则函数g(x)=f(x+1)(x≠1)的定义域为__________.【解析】由0≤x≤2020,得-1≤x-1≤2019,再由-1≤x+1≤2019,解得-2≤x≤2018,又因为x≠1,所以函数g(x)的定义域是[-2,1)∪(1,2018].答案:[-2,1)∪(1,2018]1.具体函数y=f(x)的定义域序号f(x)解析式定义域1整式R2分式分母≠03偶次根式被开方数≥04奇次根式被开方数∈R5指数式幂指数∈R6对数式真数>0;底数>0且≠17y=x0底数x≠02.抽象函数(没有解析式的函数)的定义域解题方法:精髓是“换元法”,即将括号内看作整体,关键是看求x还是求整体的取值范围.(1)已知y=f(x)的定义域是A,求y=f(g(x))的定义域:可由g(x)∈A,求出x的范围,即为y=f(g(x))的定义域.(2)已知y=f(g(x))的定义域是A,求y=f(x)的定义域:可由x∈A求出g(x)的范围,即为y=f(x)的定义域.【秒杀绝招】排除法解T1,可依据选项的特点,将0,3代入验证.考点二求函数解析式【典例】1.已知f=lnx,则f(x)=________.2.已知f=x2+x-2,则f(x)=________.3.已知f(x)是二次函数且f(0)=2,f(x+1)-f(x)=x-1,则f(x)=________.4.已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f(x)=2f·-1,则f(x)=________.世纪金榜导学号【解题导思】序号联想解题1由f,想到换元法2由f,想到配凑法3由f(x)是二次函数,想到待定系数法4由f,想到消去(也称解方程组)法【解析】1.设t=+1(t>1),则x=,代入f=lnx得f(t)=ln,所以f(x)=ln(x>1).答案:ln(x>1)2.因为f=x2+x-2=-2,又因为x+≤-2或x+≥2,所以f(x)=x2-2(x≤-2或x≥2).答案:x2-2(x≤-2或x≥2)3.设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由f(0)=2,得c=2,f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+b(x+1)+2-ax2-bx-2=x-1,即2ax+a+b=x-1,所以即所以f(x)=x2-x+2.答案:x2-x+24.在f(x)=2f·-1中,将x换成,则换成x,得f=2f(x)·-1,由解得f(x)=+.答案:+函数解析式的求法(1)待定系数法:若已知函数的类型,可用待定系数法.(2)换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围.(3)配凑法:由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式.(4)消去(方程组)法:已知f(x)与f或f(-x)之间的关系式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x).1.若函数f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),则g(x)的解析式为________.【解析】方法一(换元法):由题意知g(x+2)=2x+3,令t=x+2,则x=t-2,所以g(t)=2(t-2)+3=2t-1,所以g(x)=2x-1,答案:g(x)=2x-1方法二(配凑法):由题意知g(x+2)=2x+3=2(x+2)-1.所以g(x)=2x-1.答案:g(x)=2x-12.已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,则f(x)=________.【解析】设f(x)=ax+b(a≠0),则3f(x+1)-2f(x-1)=ax+5a+b,所以ax+5a+b=2x+17对任意实数x都成立,所以解得所以f(x)=2x+7.答案:2x+7考点三分段函数及其应用命1.考什么:(1)考查求函数值、解方程、解不等式等问题.(2)考查数学题精解读运算、数学抽象、直观想象等核心素养.2.怎么考:基本初等函数、函数的单调性、不等式交汇考查函数的概念、图像等知识.3.新趋势:以基本初等函数为载体,与其他知识交汇考查为主.学霸好方法1.求值问题的解题思路(1)求函数值:当出现f(f(x))的形式时,应从内到外依次求值.(2)求自变量的值:依据题设条件,在各段...
