圆锥曲线中的定值与定点问题核心考点·精准研析考点一直线过定点问题【典例】(2020·郑州模拟)已知O(0,0)和K(0,2)是平面直角坐标系中两个定点,过动点M(x,y)的直线MO和MK的斜率分别为k1,k2,且k1·k2=-.世纪金榜导学号(1)求动点M(x,y)的轨迹C的方程.(2)过点K作相互垂直的两条直线与轨迹C交于A,B两点,求证:直线AB过定点.【解题导思】序号联想解题(1)利用两点坐标表示出直线OM,MK的斜率,即可得到动点坐标所满足的条件(注意斜率存在的条件)(2)根据点K的位置,确定过点K相互垂直的两直线斜率是否存在;若两直线斜率存在,则斜率互为负倒数.建立A,B两点坐标之间的关系,求出直线方程所满足的条件,进而确定定点.【解析】(1)由题意,知k1·k2=-,得·=-,整理得x2+y(y-2)=0,故C的方程为+(y-1)2=1(x≠0).(也可以写作x2+2y2-4y=0).(2)显然两条过点K的直线斜率都存在,设过点K的直线方程为y=kx+2,联立解得x=,y=,设直线AB的方程为:Ax+By+C=0,将x=,y=代入得++C=0整理得:2Ck2-4Ak+2B+C=0,由于两直线垂直,斜率乘积为-1,根据根与系数的关系=-1,即2B+3C=0,故直线AB过定点.圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法:引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点.(2)特殊到一般法,根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关.(2020·鹰潭模拟)中心在原点,焦点在x轴上的椭圆,下顶点D(0,-1),且离心率e=.(1)求椭圆的标准方程.(2)经过点M(1,0)且斜率为k的直线l交椭圆于A,B两点,在x轴上是否存在定点P,使得∠MPA=∠MPB恒成立?若存在,求出点P坐标;若不存在,说明理由.【解析】(1)设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),由已知得b=1,=,又a2=b2+c2,所以a2=3,b2=1,即椭圆的标准方程为+y2=1.(2)假设x轴上存在定点P(m,0)满足条件,设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意可知,k≠0,设直线l方程为y=k(x-1),由消去y整理得,(1+3k2)x2-6k2x+3k2-3=0,x1+x2=,x1x2=,由∠MPA=∠MPB得,kPA+kPB=0,所以+=0,又y1=k(x1-1),y2=k(x2-1),+=+====0,所以k[2(3k2-3)-(m+1)·6k2+2m(3k2+1)]=0,所以k(6k2-6-6mk2-6k2+6mk2+2m)=0,所以k(-6+2m)=0,即m=3,所以P(3,0),所以定点P坐标为(3,0).考点二圆过定点问题【典例】(2020·咸阳模拟)已知A(-2,0),B(2,0),点C是动点且直线AC和直线BC的斜率之积为-.世纪金榜导学号(1)求动点C的轨迹方程.(2)设直线l与(1)中轨迹相切于点P,与直线x=4相交于点Q,判断以PQ为直径的圆是否过x轴上一定点.【解题导思】序号联想解题(1)两直线的斜率存在,故动点C与A,B两点横坐标不相等;利用点的坐标表示出斜率,构造等式关系.(2)直线和曲线相切,可利用判别式建立直线方程中的参数之间的关系,代入方程求出点Q的坐标,转化为两个向量垂直,进而坐标化处理【解析】(1)设C(x,y).由题意得kAC·kBC=·=-(y≠0).整理,得+=1(y≠0).故动点C的轨迹方程为+=1(y≠0).(2)方法一:易知直线l的斜率存在,设直线l:y=kx+m.联立得方程组消去y并整理,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0.依题意得Δ=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)=0,即3+4k2=m2.设x1,x2为方程(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0的两个根,则x1+x2=,所以x1=x2=.所以P,即P.又Q(4,4k+m),设R(t,0)为以PQ为直径的圆上一点,则由·=0,得·(4-t,4k+m)=0.整理,得(t-1)+t2-4t+3=0.由的任意性,得t-1=0且t2-4t+3=0,解得t=1.综上可知以PQ为直径的圆过x轴上一定点(1,0).方法二:设P(x0,y0),则曲线C在点P处的切线PQ:+=1.令x=4,得Q.设R(t,0)为以PQ为直径的圆上一点,则由·=0,得(x0-t)·(4-t)+3-3x0=0,即x0(1-t)+t2-4t+3=0.由x0的任意性,得1-t=0且t2-4t+3=0,解得t=1.综上可知,以PQ为直径的圆过x轴上一定点(1,0).圆过定点,可依据直径所对圆周角为直角直接转化为两条线段的垂直,进而转化为两个向量垂直,即两向量的数量积等于0,从而建立方程求解定点的坐标.(2020·西安模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0),离心率e=,A是椭圆的左顶点,F是椭圆的左焦点,=1,直线m:x=-4.(1)求椭圆C的方程.(2)直线l过点F与椭圆C交于P,Q两点,直线PA,QA分别与直线m交于M,N两点,试问:以MN为直径的圆是否过定点,如果是,请求出定点坐标;如果不是,请说明理由.【解析】(1)得,椭圆C的方程为+=1.(2)当直线l斜率存在时,设直线l:y=k,P、Q,直...
