双曲线核心考点·精准研析考点一双曲线的定义及标准方程1.已知定点F1(-2,0),F2(2,0),N是圆O:x2+y2=1上任意一点,点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,则点P的轨迹是()A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆2.已知圆C1:(x+3)2+y2=1,C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为()A.x2-=1B.-y2=1C.x2-=1(x≤-1)D.x2-=1(x≥1)3.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4),则此双曲线的方程为()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=14.(2020·唐山模拟)P是双曲线-=1(a>0,b>0)右支上一点,F1,F2分别为左、右焦点,且焦距为2c,则△PF1F2的内切圆圆心的横坐标是________.5.若双曲线的渐近线方程为y=±x,且经过点(4,),则双曲线的方程为________.世纪金榜导学号【解析】1.选B.如图,连接ON,由题意可得|ON|=1,且N为MF1的中点,又O为F1F2的中点,所以|MF2|=2.因为点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,由垂直平分线的性质可得|PM|=|PF1|,所以||PF2|-|PF1||=||PF2|-|PM||=|MF2|=2<|F1F2|,所以由双曲线的定义可得,点P的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线.2.选C.设圆M的半径为r,由动圆M同时与圆C1和圆C2相外切,得|MC1|=1+r,|MC2|=3+r,|MC2|-|MC1|=2<6,所以点M的轨迹是以点C1(-3,0)和C2(3,0)为焦点的双曲线的左支,且2a=2,a=1,又c=3,则b2=c2-a2=8,所以点M的轨迹方程为x2-=1(x≤-1).3.选C.因为以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4),所以c=5,=,又c2=a2+b2,所以a=3,b=4,所以此双曲线的方程为-=1.4.(利用定义解三角形)如图所示,内切圆圆心M到各边的距离分别为|MA|,|MB|,|MC|,切点分别为A,B,C,由三角形的内切圆的性质有|CF1|=|AF1|,|AF2|=|BF2|,|PC|=|PB|,所以|PF1|-|PF2|=|CF1|-|BF2|=|AF1|-|AF2|=2a,又|AF1|+|AF2|=2c,所以|AF1|=a+c,|OA|=|AF1|-|OF1|=a.因为M的横坐标和A的横坐标相同,所以M的横坐标为a.答案:a5.方法一:因为双曲线的渐近线方程为y=±x,所以可设双曲线的方程为x2-4y2=λ(λ≠0).因为双曲线过点(4,),所以λ=16-4×()2=4,所以双曲线的标准方程为-y2=1.方法二:因为渐近线y=x过点(4,2),而<2,所以点(4,)在渐近线y=x的下方,在y=-x的上方(如图).所以双曲线的焦点在x轴上,故可设双曲线方程为-=1(a>0,b>0).由已知条件可得解得所以双曲线的标准方程为-y2=1.答案:-y2=11.双曲线定义的应用(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求可求出曲线方程.在应用双曲线定义时,要注意定义中的条件,搞清所求轨迹是双曲线还是双曲线的一支,若是双曲线的一支,则需确定是哪一支.(2)在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,经常结合||PF1|-|PF2||=2a,运用平方的方法,建立|PF1|与|PF2|的关系.2.求双曲线标准方程的方法(1)定义法根据双曲线的定义确定a2,b2的值,再结合焦点位置,求出双曲线方程,常用的关系有:①c2=a2+b2;②双曲线上任意一点到双曲线两焦点的距离的差的绝对值等于2a.(2)待定系数法①一般步骤②常用设法(ⅰ)与双曲线-=1共渐近线的方程可设为-=λ(λ≠0);(ⅱ)若双曲线的渐近线方程为y=±x,则双曲线的方程可设为-=λ(λ≠0);(ⅲ)若双曲线过两个已知点,则双曲线的方程可设为+=1(mn<0)或mx2+ny2=1(mn<0).【秒杀绝招】求双曲线的标准方程时,若已知渐近线方程为y=±x,但不知道焦点所在坐标轴,可直接设-=λ(λ≠0).例如第5题.考点二直线与双曲线的位置关系【典例】1.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为,则其渐近线与圆(x-a)2+y2=a2的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.不确定2.已知椭圆C1的方程为+y2=1,双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点,而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点.世纪金榜导学号(1)求双曲线C2的方程.(2)若直线l:y=kx+与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B,且·>2(其中O为原点),求k的取值范围.【解题导思】序号联想解题1一看到①直线与圆的位置关系问题,即联想到利用弦心距与半径的大小关系判别;②出现双曲线离心率为时,一定为等轴双曲线,渐近线方程为y=±x2当题目中出现数量积时,首选方法是联立方程,利用根与系数的关系表示数量积,进而可求出参数范围【解析...
