核心素养测评四十六垂直关系(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.α,β,γ为不同的平面,m,n,l为不同的直线,则m⊥β的一个充分条件是()A.n⊥α,n⊥β,m⊥αB.α∩γ=m,α⊥γ,β⊥γC.α⊥γ,β⊥γ,m⊥αD.α⊥β,α∩β=l,m⊥l【解析】选A.由n⊥α,n⊥β知α∥β,又m⊥α,所以m⊥β.所以A正确.2.(2020·铜陵模拟)教师拿了一把直尺走进教室,则下列判断正确的个数是()①教室地面上有且仅有一条直线与直尺所在直线平行;②教室地面上有且仅有一条直线与直尺所在直线垂直;③教室地面上有无数条直线与直尺所在直线平行;④教室地面上有无数条直线与直尺所在直线垂直.A.1B.2C.3D.4【解析】选A.①当直尺与地面平行时,有无数条直线与直尺平行,错误②当直尺与地面垂直时,有无数条直线与直尺垂直,错误③当直尺与地面相交时,没有直线与直尺平行,错误④不管直尺与地面是什么关系,有无数条直线与直尺所在直线垂直,正确.3.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥A-BCD,则在三棱锥A-BCD中,下面结论正确的是()A.平面ABD⊥平面ABCB.平面ADC⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDCD.平面ADC⊥平面ABC【解析】选D.在平面图形中CD⊥BD,折起后仍有CD⊥BD,由于平面ABD⊥平面BCD,故CD⊥平面ABD,所以CD⊥AB,又AB⊥AD,AD∩CD=D,故AB⊥平面ADC,又因为AB⫋平面ABC,所以平面ABC⊥平面ADC.4.下列说法正确的是()A.直线a平行于平面M,则a平行于M内的任意一条直线B.直线a与平面M相交,则a不平行于M内的任意一条直线C.直线a不垂直于平面M,则a不垂直于M内的任意一条直线D.直线a不垂直于平面M,则过a的平面不垂直于M【解析】选B.A选项不正确,因为一条线平行于一个平面,则它与该平面内的直线的位置关系是平行或者异面;B选项正确,因为直线a与平面M相交,则a与M内的任意一条直线位置关系是异面或相交;C选项不正确,因为直线a不垂直于平面M,则a与平面M内与它的投影垂直的直线是垂直关系;D选项不正确,因为直线a不垂直于平面M,则过a的平面可以垂直于M.5.如图,正三角形PAD所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直,O为正方形ABCD的中心,M为正方形ABCD内一点,且满足MP=MC,则点M的轨迹为()【解析】选A.取AD的中点E,连接PE,PC,CE.由PE⊥AD知PE⊥平面ABCD,从而平面PEC⊥平面ABCD,取PC,AB的中点F,G,连接DF,DG,FG,由PD=DC知DF⊥PC,由DG⊥EC知,DG⊥平面PEC,又PC平面PEC,所以DG⊥PC,DF∩DG=D,所以PC⊥平面DFG,又点F是PC的中点,因此,线段DG上的点满足MP=MC.二、填空题(每小题5分,共15分)6.如图,PA⊥圆O所在的平面,AB是圆O的直径,C是圆O上的一点,E,F分别是点A在PB,PC上的射影,给出下列结论:①AF⊥PB;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是.【解析】由题意知PA⊥平面ABC,所以PA⊥BC.又AC⊥BC,且PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC,所以BC⊥AF.因为AF⊥PC,且BC∩PC=C,所以AF⊥平面PBC,所以AF⊥PB,又AE⊥PB,AE∩AF=A,所以PB⊥平面AEF,所以PB⊥EF.故①②③正确.答案:①②③7.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)【解析】因为PA⊥底面ABCD,所以BD⊥PA,连接AC,则BD⊥AC,且PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC,所以BD⊥PC,所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,即有PC⊥平面MBD,而PC平面PCD,所以平面MBD⊥平面PCD.答案:DM⊥PC(答案不唯一)8.设α,β是空间两个不同的平面,m,n是平面α及β外的两条不同直线.从“①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α”中选取三个作为条件,余下一个作为结论,写出你认为正确的一个命题:(用代号表示).【解析】逐一判断.若①②③成立,则m与α的位置关系不确定,故①②③⇒④错误;同理①②④⇒③也错误;①③④⇒②与②③④⇒①均正确.答案:①③④⇒②(或②③④⇒①)三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2020·新余模拟)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AC=AA1,D是棱AB的中点.(1)求证:BC1∥平面A1CD.(2)求证:BC1⊥A1C.【证明】(1)连接AC1,设AC1∩A1C=O,连接OD,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ACC1A1是平行四边形,所以O为AC1的中点,又因为D是棱AB的中点,所以OD∥BC1,又因为BC1⊈平...
