核心素养测评四十九直线的交点坐标与距离公式(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.已知直线l1:x-2y+1=0与直线l2:mx-y=0平行,则实数m的值为()A.B.-C.2D.-2【解析】选A.由题意,=,即m=.2.若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直,则实数m=()A.-4B.-1C.1D.4【解析】选C.k1=,k2=-,因为直线互相垂直,所以k1·k2=-1,即·=-1,所以m=1.3.点P(a,b)关于l:x+y-1=0对称的点仍在l上,则a2+b2的最小值=()A.B.1C.2D.0【解析】选A.因为点P(a,b)关于l:x+y-1=0对称的点仍在l上,所以点P(a,b)在直线l上,所以a+b-1=0,解得a+b=1.又≤a2+b2,所以a2+b2≥(当且仅当a=b时,等号成立).4.P点在直线3x+y-5=0上,且P到直线x-y-1=0的距离为,则P点坐标为()A.(1,2)B.(2,1)C.(1,2)或(2,-1)D.(2,1)或(-1,2)【解析】选C.设P(x,5-3x),则d==,解得x=1或x=2,故P(1,2)或(2,-1).5.若直线l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称,则直线l2恒过定点()A.(0,4)B.(0,2)C.(-2,4)D.(4,-2)【解析】选B.直线l1:y=k(x-4)恒过定点(4,0),其关于点(2,1)对称的点为(0,2).又由于直线l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称,故直线l2恒过定点(0,2).6.若直线y=-2x+3k+14与直线x-4y=-3k-2的交点位于第四象限,则实数k的取值范围是()A.-6-2【解析】选A.解方程组得因为直线y=-2x+3k+14与直线x-4y=-3k-2的交点位于第四象限,所以k+6>0且k+2<0,所以-60,c>0)恒过点P(1,m)且Q(4,0)到动直线l的最大距离为3,则+的最小值为()A.B.C.1D.9【解析】选B.因为动直线l:ax+by+c-2=0(a>0,c>0)恒过点P(1,m),所以a+bm+c-2=0,设点Q(4,0)到直线l的距离为d,当d=|PQ|时取最大值,所以=3,解得m=0.所以a+c=2,则+=(a+c)·=·≥=,当且仅当c=2a=时取等号.3.(5分)点A(1,3),B(5,-2),点P在x轴上使|AP|-|BP|最大,则P的坐标为()A.(4,0)B.(13,0)C.(5,0)D.(1,0)【解析】选B.如图,作出点A(1,3)关于x轴对称的点A′(1,-3),则|PA|-|PB|=|PA′|-|PB|≤|A′B|,当且仅当点P在A′B的延长线上时,取等号.由两点式可得直线A′B的方程为:y=x-.令y=0得x=13,所以点P的坐标为(13,0).4.(10分)已知直线l经过直线2x+y-5=0与x-2y=0的交点.世纪金榜导学号(1)点A(5,0)到l的距离为3,求l的方程.(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值.【解析】(1)经过两条已知直线交点的直线系方程为(2x+y-5)+λ(x-2y)=0,即(2+λ)x+(1-2λ)y-5=0.所以=3.即2λ2-5λ+2=0,所以λ=2或.所以l的方程为x=2或4x-3y-5=0.(2)由解得交点P(2,1),如图,过P作任一直线l,设d为点A到l的距离,则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立).(其余距离d与PA构成直角三角形,PA为它们的斜边),所以dmax=|PA|=.5.(10分)已知直线l1的方程为3x+4y-12=0,求l2的方程,使得:世纪金榜导学号(1)l2与l1平行,且过点(-1,3).(2)l2与l1垂直,且l2与两坐标轴围成的三角形面积为4.【解题指南】(1)由l2与l1平行可设l2:3x+4y+m=0(m≠-12),再代入点(-1,3)得m的值.(2)由l2与l1垂直可设l2:4x-3y+n=0,再得与坐标轴的交点,由面积公式求解.【解析】(1)设l2:3x+4y+m=0(m≠-12),因为l2过点(-1,3),将点(-1,3)代入得-3+4×3+m=0,解得m=-9,所以l2的方程为3x+4y-9=0.(2)设l2:4x-3y+n=0,设l2与x轴交于点A-,0,与y轴交于点B0,.所以S△AOB=·=4.n2=96,n=±4,所以l2的方程为4x-3y+4=0或4x-3y-4=0.
