核心素养测评四十等差与等比数列的综合问题(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.已知1,a1,a2,9四个实数成等差数列,1,b1,b2,b3,9五个数成等比数列,则b2(a2-a1)=()A.8B.-8C.±8D.【解析】选A.由1,a1,a2,9成等差数列,得公差d=a2-a1==,由1,b1,b2,b3,9成等比数列,得=1×9,所以b2=±3,当b2=-3时,1,b1,-3成等比数列,此时=1×(-3)无解,所以b2=3,所以b2(a2-a1)=3×=8.2.等差数列{an},等比数列{bn},满足a1=b1=1,a5=b3,则a9能取到的最小整数是()A.-1B.0C.2D.3【解析】选B.等差数列{an}的公差设为d,等比数列{bn}的公比设为q,q≠0,由a1=b1=1,a5=b3,可得1+4d=q2,则a9=1+8d=1+2(q2-1)=2q2-1>-1,可得a9能取到的最小整数是0.3.已知在等差数列{an}中,a1>0,d>0,前n项和为Sn,等比数列{bn}满足b1=a1,b4=a4,前n项和为Tn,则()A.S4>T4B.S41,数列{bn}单调递增,又S4-T4=a2+a3-(b2+b3)=a1+a4-a1q-=a1(1-q)+a4=(a4-a1q)=(b4-b2)>0,所以S4>T4.【一题多解】选A.不妨取an=7n-4,则等比数列{bn}的公比q==2,所以S4=54,T4==45,显然S4>T4.4.已知a,b,c成等比数列,a,m,b和b,n,c分别成两个等差数列,则+等于世纪金榜导学号()A.4B.3C.2D.1【解析】选C.由题意得b2=ac,2m=a+b,2n=b+c,则+====2.【一题多解】解答本题,还有以下解法:特殊值法:选C.因为a,b,c成等比数列,所以令a=2,b=4,c=8,又a,m,b和b,n,c分别成两个等差数列,则m==3,n==6,因此+=+=2.二、填空题(每小题5分,共20分)5.Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则an=.【解析】由3S1,2S2,S3成等差数列,得4S2=3S1+S3,即3S2-3S1=S3-S2,则3a2=a3,得公比q=3,所以an=a1qn-1=3n-1.答案:3n-16.已知等差数列{an}的公差和首项都不等于0,且a2,a4,a8成等比数列,则=.【解析】设公差为d,因为在等差数列{an}中,a2,a4,a8成等比数列,所以=a2a8,所以(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d),所以d2=a1d,因为d≠0,所以d=a1,所以==3.答案:37.已知等差数列{an}满足a3=7,a5+a7=26.若bn=(n∈N*),则数列{bn}的最大项为,最小项为.【解析】因为a5+a7=26,所以a6=13,因为a3=7,所以3d=6,d=2,所以an=a3+d=7+2=2n+1,所以bn===1+,又因为当n=1,2,3时,数列{bn}递减且<0,当n≥4时,数列{bn}递减且>0,所以数列{bn}的最大项为b4=8,最小项为b3=-6.答案:8-68.已知等差数列的公差d≠0,且a1,a3,a13成等比数列,若a1=1,Sn为数列的前n项和,则的最小值为.世纪金榜导学号【解析】依题意:因为a1,a3,a13成等比数列,a1=1,所以=a1a13,所以(1+2d)2=1+12d,d≠0,解得d=2.可得an=2n-1,Sn=n2,则===n+2+-4≥4,当且仅当n=2时,等号成立.答案:4三、解答题(每小题10分,共20分)9.等比数列{an}的各项均为正数,且2a1+3a2=1,=9a2a6.(1)求数列{an}的通项公式.(2)设bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列的前n项和Tn.【解析】(1)设数列{an}的公比为q,由=9a2a6,得=9,所以q2=.由条件可知q>0,故q=.由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1,所以a1=.故数列{an}的通项公式为an=.(2)bn=log3a1+log3a2+…+log3an=-(1+2+…+n)=-.故=-=-2.所以Tn=++…+=-2=-,所以数列的前n项和为-.10.已知等差数列{an}前三项的和为-3,前三项的积为8.世纪金榜导学号(1)求数列{an}的通项公式.(2)若a2,a3,a1成等比数列,求数列{|an|}的前n项和Sn.【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,则a2=a1+d,a3=a1+2d.由题意得解得或所以由等差数列通项公式可得an=2-3(n-1)=-3n+5或an=-4+3(n-1)=3n-7.故an=-3n+5或an=3n-7.(2)当an=-3n+5时,a2,a3,a1分别为-1,-4,2,不成等比数列;当an=3n-7时,a2,a3,a1分别为-1,2,-4,成等比数列,满足条件.故|an|=|3n-7|=记数列{|an|}的前n项和为Sn.当n=1时,S1=|a1|=4;当n=2时,S2=|a1|+|a2|=5;当n≥3时,Sn=S2+|a3|+|a4|+…+|an|=5+(3×3-7)+(3×4-7)+…+(3n-7)=5+=n2-n+10.当n=2时,满足此式,当n=1时,不满足此式.综上,Sn=
