核心素养测评十四利用导数研究函数的单调性(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.函数y=f(x)=x3-x2+的图像大致是()【解析】选A.因为f(0)=,所以排除C;因为f′(x)=3x2-2x,令f′(x)>0,所以x∈(-∞,0)或x∈时f(x)单调递增,令f′(x)<0,所以x∈时f(x)单调递减,排除B,D.2.下列函数中,在(0,+∞)上为增函数的是()A.f(x)=sin2xB.f(x)=xexC.f(x)=x3-xD.f(x)=-x+lnx【解析】选B.对于A,f(x)=sin2x的单调递增区间是(k∈Z);对于B,f′(x)=ex(x+1),当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0,所以函数f(x)=xex在(0,+∞)上为增函数;对于C,f′(x)=3x2-1,令f′(x)>0,得x>或x<-,所以函数f(x)=x3-x在和上单调递增;对于D,f′(x)=-1+=-,令f′(x)>0,得0
0C.a≤0D.a<0【解析】选A.因为f(x)==ax-,所以f′(x)=a+.因为函数f(x)=在(0,+∞)上单调递增,所以f′(x)=a+≥0在(0,+∞)上恒成立且不恒为零,即a≥-在(0,+∞)上恒成立且不恒为零,所以a≥0.【变式备选】若函数f(x)=kex+x在(0,+∞)上单调递减,则k的范围为()A.k≥-1B.k≤-1C.k≥1D.k≤1【解析】选B.f′(x)=kex+1.由题意得kex+1≤0在(0,+∞)上恒成立,即k≤-,x∈(0,+∞).当x∈(0,+∞)时,-∈(-1,0),所以k≤-1.5.(2020·南昌模拟)已知函数f(x+1)是偶函数,当x∈(1,+∞)时,函数f(x)=sinx-x,设a=f,b=f(3),c=f(0),则a,b,c的大小关系为世纪金榜导学号()A.b-时,f′(x)<0,当00,所以f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.答案:8.(2020·西安模拟)已知函数f(x)=ax3+bx2的图像经过点M(1,4),曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y=0垂直.若函数f(x)在区间[m,m+1]上单调递增,则m的取值范围是.世纪金榜导学号【解析】因为f(x)=ax3+bx2的图像经过点M(1,4),所以a+b=4,①f′(x)=3ax2+2bx,则f′(1)=3a+2b.由题意可得f′(1)·=-1,即3a+2b=9.②联立①②两式解得a=1,b=3,所以f(x)=x3+3x2,f′(x)=3x2+6x.令f′(x)=3x2+6x≥0,得x≥0或x≤-2.因为函数f(x)在区间[m,m+1]上单调递增,所以[m,m+1]⊆(-∞,-2]∪[0,+∞),所以m≥0或m+1≤-2,即m≥0或m≤-3.答案:(-∞,-3]∪[0,+∞)三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知函数f(x)=x3+ax2+bx(a,b∈R)的图像过点P(1,2),且在点P处的切线斜率为8.(1)求a,b的值.(2)求函数f(x)的单调区间.【解析】(1)因为函数f(x)的图像过点P(1,2),所以f(1)=2.所以a+b=1.①又函数图像在点P处的切线斜率为8,所以f′(1)=8.又f′(x)=3x2+2ax+b,所以2a+b=5.②解由①②组成的方程组,可得a=4,b=-3.(2)由(1)得f′(x)=3x2+8x-3,令f′(x)>0,可得x<-3或x>;令f′(x)<0,可得-30,函数f(x)在R上单调递增;②当a>0时,由f′(x)=ex-a=0得x=lna,所以当x∈(-∞,lna)时,f...
