核心素养测评十七导数与函数零点的综合问题(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.函数f(x)=x3+x2+x+1的零点个数为()A.0B.1C.2D.3【解析】选B.因为f′(x)=x2+2x+1=(x+1)2≥0,所以f(x)在R上单调递增,因为f(0)=1>0,f(-3)=-2<0,所以f(x)在R上有且只有一个零点.【变式备选】函数f(x)=x3-4x+4的零点个数为()A.0B.1C.2D.3【解析】选D.因为f′(x)=x2-4=(x-2)(x+2),令f′(x)=0,得x=±2.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:x(-∞,-2)-2(-2,2)2(2,+∞)f′(x)+0-0+f(x)↗↘-↗由此可得到f(x)的大致图像(如图).由图可知f(x)有3个零点.2.已知函数f(x)=x3-12x+a,其中a≥16,则f(x)的零点的个数是()A.0或1B.1或2C.2D.3【解析】选B.方法一:因为f′(x)=3x2-12,令f′(x)=3x2-12=0,得x=±2,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:x(-∞,-2)-2(-2,2)2(2,+∞)f′(x)+0-0+f(x)↗a+16↘a-16↗由此可得到f(x)的大致图像(如图),由a≥16得,a+16>0,a-16≥0,当a=16时,f(x)的图像与x轴有2个交点;当a>16时,f(x)的图像与x轴只有1个交点.所以f(x)的零点个数为1或2.方法二:f(x)=x3-12x+a的零点个数方程⇔x3-12x=-a的解的个数⇔g(x)=x3-12x与h(x)=-a的交点个数.画出g(x)=x3-12x与h(x)=-a的图像.由g′(x)=3x2-12=0,得x=±2,当x变化时,g′(x),g(x)的变化情况如下表:x(-∞,-2)-2(-2,2)2(2,+∞)g′(x)+0-0+g(x)↗16↘-16↗所以g(x)的图像如图所示:因为a≥16,所以y=-a≤-16.由图可知直线y=-a与y=x3-12x的图像有1个或2个交点.3.若函数f(x)=恰有2个零点,则a的取值范围为()A.B.∪C.D.∪【解析】选D.当x>0时,令f(x)=0,可得x3-x2-a=0,设g(x)=x3-x2,则g′(x)=x(3x-2),当0
时,g′(x)>0,g(x)min=g=-.当x≤0时,令f(x)=0,可得x2+2x-a=0,设h(x)=x2+2x,h(x)min=-1,所以函数f(x)=恰有2个零点,则a的取值范围为∪4.(2020·深圳模拟)已知函数f(x)=+lnx-1有且仅有一个零点,则实数a的取值范围为()世纪金榜导学号A.(-∞,0]∪{1}B.[0,1]C.(-∞,0]∪{2}D.[0,2]【解析】选A.因为函数f(x)=+lnx-1,所以f′(x)=-+=,x>0,当a≤0时,f′(x)=>0恒成立,f(x)是增函数,x→+∞时,f(x)→+∞,f(1)=a-1<0,函数f(x)=+lnx-1有且仅有一个零点;当a>0时,令f′(x)>0,解得:x>a,令f′(x)<0,解得:x0,h(x)单调递增;当x∈(-3,2)时,h′(x)<0,h(x)单调递减;当x∈(2,+∞)时,h′(x)>0,h(x)单调递增.且h(-3)=,h(2)=-,数形结合可得a的取值范围是.答案:7.已知函数f(x)=x3+mx+,g(x)=-lnx.min{a,b}表示a,b中的最小值,若函数h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0)恰有三个零点,则实数m的取值范围是.【解析】f′(x)=3x2+m,因为g(1)=0,所以要使h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0)恰有三个零点,需满足f(1)>0,f<0,m<0,解得m>-,>⇒-0,所以m=-1,要使方程lnx-x-mx=0在区间[1,e2]上有唯一实数解,只需m=-1有唯一实数解,令g(x)=-1,(x>0),所以g′(x)=,由g′(x)>0,得0e,所以g(x)在区间[1,e]上是增函数,在区间[e,e2]上是减函数.g(1)=-1,g(e)=-1,g(e2)=-1,故-1≤m<-1或m=-1.答案:∪三、解答题(每小题10分,共20分)9.设函数f(x)=x3+ax2+bx+c.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程.(2)设a=b=4,若函...
