核心素养测评六十圆锥曲线与其他知识的交汇问题1.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点为F(1,0),点P在C上.世纪金榜导学号(1)求椭圆C的方程.(2)若直线l:y=x+m与椭圆C相交于A,B两点,问y轴上是否存在点M,使得△ABM是以M为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,求点M的坐标;若不存在,说明理由.【解析】(1)由题意可得c=1,点P在C上,所以+=1,又a2=b2+c2=b2+1,解得a2=4,b2=3,所以椭圆C的方程为+=1.(2)假设y轴上存在点M,使△ABM是以M为直角顶点的等腰直角三角形,设A,B,线段AB的中点为N,由,消去y可得7x2+8mx+4m2-12=0,Δ=64m2-28=48>0,解得m2<7,所以x1+x2=-,x1x2=,所以x0==-,y0=x0+m=,所以N,依题意有AM⊥BM,MN⊥l,由MN⊥l,可得×1=-1,可得t=-;由AM⊥BM可得·=-1,因为y1=x1+m,y2=x2+m,代入上式化简可得2x1x2++(m-t)2=0,则-()2+()2=0,解得m=±,当m=时,点M满足题意,当m=-时,点M满足题意.2.如图,已知椭圆C1:+=1(b>0)的左焦点F与抛物线C2:y2=-2px(p>0)的焦点重合,M是C1与C2在第二象限内的交点,抛物线的准线与x轴交于点E,且|ME|=.世纪金榜导学号(1)求椭圆C1及抛物线C2的方程.(2)过E作直线l交椭圆C1于A,B两点,则在椭圆的长轴上是否存在点N,使得·为定值?若存在,求出点N的坐标及定值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由两曲线焦点重合,知=,由椭圆的对称性,知E为椭圆的右焦点,连接MF,由椭圆的定义知|MF|+|ME|=4,则|MF|=4-=.设M(xM,yM),过点M作准线的垂线,垂足为H,由抛物线的定义知|MF|=|MH|=,因而yM==,xM=-,代入+=1中,得+=1,与=联立,得p=2,b2=3,所以椭圆的方程为+=1,抛物线的方程为y2=-4x.(2)由(1)知E(1,0),若直线l的斜率存在,设直线方程为y=k(x-1),由得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=,x1·x2=.假设点N存在,其坐标为(m,0),其中-2≤m≤2,·=(x1-m,y1)·(x2-m,y2)=(x1-m)·(x2-m)+k(x1-1)·k(x2-1)=(1+k2)x1x2-(m+k2)(x1+x2)+m2+k2=(1+k2)-(m+k2)+m2+k2=.若·为定值,则满足=,得m=,定值为-.当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=1,不妨设其与椭圆+=1的交点为A1,,B1,-,又N,0,则·=-,·-,-=-,综上,在椭圆的长轴上存在点N,0,使得·=-,为定值.
