核心素养测评五十五求曲线的方程1.设m∈R,在平面直角坐标系中,已知向量a=(mx,y+1),向量b=(x,y-1),a⊥b,动点M(x,y)的轨迹为E.(1)求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状.(2)当m=时,轨迹E与直线y=x-1交于A、B两点,求弦AB的长.世纪金榜导学号【解析】(1)因为a=(mx,y+1),b=(x,y-1),且a⊥b,所以a·b=mx2+y2-1=0,即mx2+y2=1.当m=0时,方程表示两直线,方程为y=±1;当m=1时,方程表示的是圆x2+y2=1;当m>0且m≠1时,方程表示的是椭圆;当m<0时,方程表示的是双曲线.(2)当m=时,椭圆方程为+y2=1.联立得5x2-8x=0,解得x1=0,x2=,所以y1=-1,y2=.不妨令A(0,-1),B,则|AB|==.2.在平面直角坐标系xOy中,已知三点O(0,0),A(-1,1),B(1,1),曲线C上任意一点M(x,y)满足:|+|=4-·(+).世纪金榜导学号(1)求曲线C的方程.(2)设点P是曲线C上的任意一点,过原点的直线l与曲线相交于M,N两点,若直线PM,PN的斜率都存在,并记为kPM,kPN,试探究kPM·kPN的值是否与点P及直线l有关,并证明你的结论.【解析】(1)由已知,A(-1,1),B(1,1),M(x,y),所以+=(-1-x,1-y)+(1-x,1-y)=(-2x,2-2y),|+|==,又因为|+|=4-·(+),4-·(+)=4-(x,y)·(0,2)=4-y,所以=4-y,化简整理得+=1,即为所求曲线C的方程.(2)因为过原点的直线l与椭圆相交的两点M,N关于坐标原点对称,可设P(x,y),M(x0,y0),N(-x0,-y0).因为P,M,N在椭圆上,所以+=1,①+=1,②,①-②得=-,又因为kPM=,kPN=,所以kPM·kPN=·==-,所以,kPM·kPN的值恒等于-,与点P的位置和直线l的位置无关.
