核心素养测评五十七圆锥曲线的范围问题1.已知抛物线C:x2=2py(p>0)上一点M(m,9)到其焦点F的距离为10.世纪金榜导学号(1)求抛物线C的方程.(2)设过焦点F的直线l与抛物线C交于A,B两点,且抛物线在A,B两点处的切线分别交x轴于P,Q两点,求|AP|·|BQ|的取值范围.【解析】(1)已知M(m,9)到焦点F的距离为10,则点M到准线的距离为10.因为抛物线的准线为y=-,所以9+=10,解得p=2,所以抛物线的方程为x2=4y.(2)由已知可判断直线l的斜率存在,设斜率为k,因为F(0,1),则l:y=kx+1.设A,B,由消去y得,x2-4kx-4=0,所以x1+x2=4k,x1x2=-4.由于抛物线C也是函数y=x2的图像,且y′=x,则PA:y-=x1(x-x1).令y=0,解得x=x1,所以P,从而|AP|=.同理可得|BQ|=,所以|AP|·|BQ|===2.因为k2≥0,所以|AP|·|BQ|的取值范围为[2,+∞).2.已知椭圆C1,抛物线C2的焦点均在x轴上,C1的中心和C2的顶点均为原点O,从每条曲线上各取两个点,其坐标分别是(3,-2),(-2,0),(4,-4),.(1)求C1,C2的标准方程.(2)过点M(0,2)的直线l与椭圆C1交于不同的两点A,B,且∠AOB为钝角(其中O为坐标原点),求直线l的斜率k的取值范围.【解析】(1)由题意,抛物线的顶点为原点,设椭圆方程为+=1(a>b>0),所以点(-2,0)一定在椭圆上,且a=2,则椭圆上任何点的横坐标的绝对值都小于等于2,所以也在椭圆上,+=1,b2=1,故椭圆标准方程为+y2=1,所以点(3,-2)、(4,-4)在抛物线上,且抛物线开口向右,设其方程为y2=2px(p>0),12=6p,p=2,所以方程为y2=4x.(2)①当直线l斜率不存在时,易知A,O,B三点共线,不符合题意.②当l斜率存在时,设l:y=kx+2,A(x1,x2),B(x2,y2),x2+4(kx+2)2-4=0,(4k2+1)x2+16kx+12=0,令Δ=(16k)2-48(4k2+1)>0,256k2-192k2-48>0,64k2>48,k<-或k>,=(x1,y1),=(x2,y2),x1+x2=,x1x2=,y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4=-+=,令·=x1x2+y1y2=<0,即4k2>16,k<-2或k>2.综上:k<-2或k>2.
