核心素养测评五十二椭圆(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2019·北京高考)已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,则()A.a2=2b2B.3a2=4b2C.a=2bD.3a=4b【解析】选B.离心率平方e2===,即4(a2-b2)=a2,即3a2=4b2.2.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,离心率为,过F2的直线l交C于A,B两点.若△AF1B的周长为4,则C的方程为()A.+=1B.+y2=1C.+=1D.+=1【解析】选A.由已知及椭圆的定义知4a=4,即a=,又==,所以c=1,b2=2,所以C的方程为+=1.3.已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,椭圆上一点P到两焦点距离之和为12,则椭圆短轴长为()A.8B.6C.5D.4【解析】选A.椭圆+=1(a>b>0)的离心率e==,椭圆上一点P到两焦点距离之和为12,即2a=12,可得a=6,c=2,所以b===4,则椭圆短轴长为2b=8.4.设F1,F2分别为椭圆+y2=1的左、右焦点,点P在椭圆上,且|+|=2,则∠F1PF2=()A.B.C.D.【解析】选D.若O为坐标原点,即O为F1,F2的中点,则+=2,因为|+|=2,所以|PO|=,又|OF1|=|OF2|==,所以P,F1,F2在以点O为圆心的圆上,且F1F2为直径,所以∠F1PF2=.5.已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线交椭圆于P,Q两点,且∶|PQ|∶=2∶3∶4,则椭圆的离心率为世纪金榜导学号()A.B.C.D.【解析】选C.设=2,=3,=4,则=2a-2,=2a-4,(2a-2)+(2a-4)=3,得a=,则=.在△PF1Q中,由余弦定理有cos∠QPF1==-.在△PF1F2中,由余弦定理有==,则椭圆的离心率为=.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2020·南阳模拟)已知O为坐标原点,F为椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点,过点F且倾斜角为120°的直线与椭圆C交于第一象限一点P,若△POF为正三角形,则椭圆C的离心率为.【解析】因为|OF|=c,△POF为正三角形,所以|PO|=c,则点P的坐标为,故有整理得e4-8e2+4=0,解得e2=4-2,所以e==-1.答案:-17.已知F是椭圆5x2+9y2=45的左焦点,P是此椭圆上的动点,A(1,1)是一定点,则|PA|+|PF|的最大值为,最小值为.【解析】设F1是椭圆的右焦点,则F1(2,0),所以|AF1|=,所以|PA|+|PF|=|PA|-|PF1|+6,又-|AF1|≤|PA|-|PF1|≤|AF1|(当P,A,F1共线时等号成立),所以|PA|+|PF|≤6+,|PA|+|PF|≥6-.答案:6+6-8.已知F是椭圆C:+=1的右焦点,P是C上一点,A(-2,1),当△APF周长最小时,其面积为.世纪金榜导学号【解析】椭圆C:+=1的a=2,b=2,c=4,设左焦点为F′(-4,0),右焦点为F(4,0).△APF周长为|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+(2a-|PF′|)=|AF|+|AP|-|PF′|+2a≥|AF|-|AF′|+2a,当且仅当A,P,F′三点共线,即P位于x轴上方时,三角形周长最小.此时直线AF′的方程为y=(x+4),代入x2+5y2=20中,可求得P(0,2),故S△APF=S△PF′F-S△AF′F=×2×8-×1×8=4.答案:4三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率e=,且椭圆C经过点(2,).(1)求椭圆C的标准方程.(2)过点P(2,1)作直线l与该椭圆相交于A,B两点,若线段AB恰被点P所平分,求直线l的方程.【解析】(1)由题意得解得a2=8,b2=6,所以椭圆C的方程为+=1.(2)由题意点P在椭圆内部,设A(x1,y1),B(x2,y2),则两式相减,得+=0,AB的中点为P(2,1),所以x1+x2=4,y1+y2=2,代入上式得+=0,得kAB==-.所以直线l的方程为y-1=-(x-2),即3x+2y-8=0.10.若A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆E:+y2=1上位于x轴上方两点,且x1+x2=2.世纪金榜导学号(1)若y1+y2=1,求线段AB的垂直平分线的方程.(2)求直线AB在y轴上截距的最小值.【解析】(1)设AB的中点为M,则M1,,由得+(y1-y2)(y1+y2)=0,所以(x1-x2)+(y1-y2)=0⇒=-,即kAB=-,所以线段AB的垂直平分线的斜率为,所以线段AB的垂直平分线的方程为y-=(x-1),即9x-2y-8=0.(2)由题意知AB斜率存在,设直线AB:y=kx+m.由得(1+9k2)x2+18kmx+9m2-9=0,x1+x2=-=2,即9k2+9km+1=0,①因为A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆E:+y2=1上位于x轴上方两点,所以k<0,m>0,②Δ=(18km)2-4(1+9k2)(9m2-9)>0,即9k2-m2+1>0,③结合①②得m=(-k)+≥,当且仅当k=-时,取等号,此时,k=-,m=满足③.所以直线AB在y轴上截距的最小值为.(15分钟35分)1.(5分)(2020·济南模拟)已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,动圆在圆C1内部且和圆C1相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为()A.-=1B.+=1C.-=1D.+=1【解析】选D.设圆M的半径为r,则|MC1|+|MC2|=(13-r)+(3+r)=16>8=|C1C2|,所以M的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆,且2a=16,2c=8,...
