核心素养测评五十三双曲线(30分钟55分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2020·合肥模拟)已知双曲线的一条渐近线方程为y=2x,且经过点,则该双曲线的标准方程为()A.-y2=1B.-x2=1C.x2-=1D.y2-=1【解析】选B.对于A选项,双曲线的渐近线方程为y=±x,不符合题意.对于B选项,双曲线的渐近线方程为y=±2x,且过点,符合题意.对于C选项,双曲线的渐近线为y=±2x,但不过点,不符合题意.对于D选项,双曲线的渐近线为y=±x,不符合题意.2.(2019·南昌模拟)在平面直角坐标系中,已知双曲线C与双曲线x2-=1有公共的渐近线,且经过点P(-2,),则双曲线C的焦距为()A.B.2C.3D.4【解析】选D.根据题意,双曲线C与双曲线x2-=1有公共的渐近线,设双曲线C的方程为x2-=t(t≠0),又由双曲线C经过点P(-2,),则有4-=t,则t=3,则双曲线C的方程为x2-=3,即-=1,则c==2,其焦距2c=4.3.已知曲线-=1(a>0,b>0)为等轴双曲线,且焦点到渐近线的距离为,则该双曲线的方程为()A.x2-y2=B.x2-y2=1C.x2-y2=D.x2-y2=2【解析】选D.由已知,若曲线-=1(a>0,b>0)为等轴双曲线,则a2=b2,c==a,即焦点的坐标为(±a,0);渐近线方程为x±y=0,若焦点到渐近线的距离为,则=a=,双曲线的标准方程为-=1,即x2-y2=2.4.(2018·全国卷I)已知双曲线C:-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则=()A.B.3C.2D.4【解析】选B.渐近线方程为-y2=0,即y=±x,所以∠MON=.因为△OMN为直角三角形,假设∠ONM=,如图,则kMN=,所以直线MN方程为y=(x-2).联立解得所以N,即ON=,因为∠MON=,所以|MN|=3.5.已知椭圆+=1(m>0)与双曲线-=1(n>0)有相同的焦点,则m+n的取值范围是()A.(0,6]B.[3,6]C.(3,6]D.[6,9)【解析】选C.由题意可知m2<25,则00知:当m=0时,(m+n)min=3,且m+n=3为无法取到的临界点,综上可得:m+n的取值范围是(3,6].6.已知F1,F2分别为双曲线C:-=1的左、右焦点,P为双曲线C右支上一点,且|PF1|=2|PF2|,则△PF1F2外接圆的面积为()A.B.C.D.【解析】选D.双曲线C:-=1的两个焦点F1(-3,0),F2(3,0),|F1F2|=6,a=2,由|PF1|=2|PF2|,设|PF2|=x,则|PF1|=2x,由双曲线的性质知,2x-x=4,解得x=4,所以|PF1|=8,|PF2|=4,因为|F1F2|=6,所以cos∠F1PF2==,所以sin∠F1PF2=,所以△PF1F2外接圆的半径为=,所以△PF1F2外接圆的面积为.7.(2020·杭州模拟)已知椭圆C1:+=1(a>b>0)与双曲线C2:-=1(m>0,n>0)有相同的焦点F1,F2,点P是两曲线的一个公共点,且∠F1PF2=60°,若椭圆e1=,则双曲线C2的离心率e2=世纪金榜导学号()A.B.C.3D.4【解析】选B.设|PF1|=s,|PF2|=t,P为第一象限的交点,由椭圆和双曲线的定义可得s+t=2a,s-t=2m,解得s=a+m,t=a-m,在△F1PF2中,∠F1PF2=60°,可得4c2=s2+t2-2stcos60°=a2+m2+2am+a2+m2-2am-(a2-m2),即有a2+3m2=4c2,可得+=4,即+=4,由e1=,可得e2=.二、填空题(每小题5分,共10分)8.双曲线+=1的焦距为.【解析】由题意可得(25-k)(9-k)<0,解得90,9-k<0,双曲线方程为-=1,由c2=a2+b2=(25-k)+(k-9)=16,即c=4,所以2c=8.答案:89.(2020·安庆模拟)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,则双曲线的方程为.【解析】因为渐近线方程为y=x,所以=,抛物线y2=24x的准线方程为x=-6,因此双曲线的一个焦点为(-6,0),其半焦距c=6,由双曲线的性质c2=a2+b2,所以a2=9,b2=27,故方程为-=1.答案:-=1三、解答题10.(10分)已知双曲线-=1,过点M(m,0)作垂直于双曲线实轴的直线与双曲线交于A,B两点.若△AOB是锐角三角形(O为坐标原点),求实数m的取值范围.世纪金榜导学号【解析】由题意得A,Bm,-2,所以=,=,因为△AOB是锐角三角形,所以∠AOB是锐角,即与的夹角为锐角,所以·>0,即m2-+4>0,解得-2,故实数m的取值范围是(-2,-)∪(,2).(15分钟35分)1.(5分)已知双曲线-=1的一个焦点在直线x+y=5上,则双曲线的渐近线方程为()A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x【解析】选B.由已知,双曲线的方程为-=1,其焦点在x轴上,直线x+y=5与x轴交点的坐标为(5,0),...
