2017高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第1讲平面向量的概念及线性运算习题A组基础巩固一、选择题1．(2015·广西南宁质检)已知a，b是两个单位向量，下列命题中错误的是()A．|a|＝|b|＝1B．a·b＝1C．当a，b反向时，a＋b＝0D．当a，b同向时，a＝b[答案]B[解析]a，b是两个单位向量，即模为1的向量，对于A，有|a|＝|b|＝1，则A正确；对于B，a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉＝cos〈a，b〉，则B错误；对于C，当a，b反向时，有a＋b＝0，则C正确；对于D，当a，b同向时，有a＝b，则D正确．故选B.2．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，CD＝－5a－3b，其中a、b不共线，则四边形ABCD为()A．平行四边形B.矩形C．梯形D．菱形[答案]C[解析] AD＝AB＋BC＋CD＝a＋2b－4a－b－5a－3b＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2BC，即AD＝2BC，∴AD∥BC且AD≠BC，故选C.3．(2015·福建四地六校联考)已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2OP＝2OA＋BA，则()A．点P在线段AB上B．点P在线段AB的反向延长线上C．点P在线段AB的延长线上D．点P不在直线AB上[答案]B[解析]因为2OP＝2OA＋BA，所以2AP＝BA，所以点P在线段AB的反向延长线上，故选B.4．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且DC＝2BD，CE＝2EA，AF＝2FB，则AD＋BE＋CF与BC()A．反向平行B.同向平行C．互相垂直D．既不平行也不垂直[答案]A[解析]由题意得AD＝AB＋BD＝AB＋BC，BE＝BA＋AE＝BA＋AC，CF＝CB＋BF＝CB＋BA，因此AD＋BE＋CF＝CB＋(BC＋AC－AB)＝CB＋BC＝－BC，故AD＋BE＋CF与BC反向平行．5．在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，BE与AC相交于点F，若EF＝mAB＋nAD(m，n∈R)，则的值为()A．－2B.－C．2D．[答案]A[解析]设AB＝a，AD＝b，则EF＝ma＋nb，BE＝AE－AB＝b－a，由向量EF与BE共线可知存在实数λ，使得EF＝λBE，即ma＋nb＝λb－λa，又a与b不共线，则，所以＝－2.6．设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且OA＋OB＋2OC＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为()A．3B.4C．5D．6[答案]B[解析] D为AB的中点，则OD＝(OA＋OB)，又OA＋OB＋2OC＝0，∴OD＝－OC，∴O为CD的中点，又 D为AB中点，∴S△AOC＝S△ADC＝S△ABC，则＝4.二、填空题7．如图所示，下列结论不正确的是________.①PQ＝a＋b；②PT＝－a－b；③PS＝a－b；④PR＝a＋b.[答案]②④[解析]由a＋b＝PQ，知PQ＝a＋b，①正确；由PT＝a－b，从而②错误；PS＝PT＋b，故PS＝a－b，③正确；PR＝PT＋2b＝a＋b，④错误．故不正确的为②④.8．如图所示，已知∠B＝30°，∠AOB＝90°，点C在AB上，OC⊥AB，用OA和OB来表示向量OC，则OC等于________.[答案]OA＋OB[解析]OC＝OA＋AC＝OA＋AB＝OA＋(OB－OA)＝OA＋OB.9．(2015·江门模拟)已知D为三角形ABC边BC的中点，点P满足PA＋BP＋CP＝0，AP＝λPD，则实数λ的值为________.[答案]－2[解析]如图所示，由AP＝λPD且PA＋BP＋CP＝0，则P为以AB，AC为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此AP＝－2PD，则λ＝－2.10．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________.[答案][解析]DE＝DB＋BE＝AB＋BC＝AB＋(BA＋AC)＝－AB＋AC，所以λ1＝－，λ2＝，即λ1＋λ2＝.三、解答题11．已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1、e2不共线，向量c＝2e1－9e2.问是否存在这样的实数λ、μ，使向量d＝λa＋μb与c共线？[答案]存在，λ＝－2u[解析] d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，要使d与c共线，则应有实数k，使d＝kc，即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2，即得λ＝－2μ.故存在这样的实数λ、μ，只要λ＝－2μ，就能使d与c共线．12．如图所示，在△ABC中，D、F分别是BC、AC的中点，AE＝AD，AB＝a，AC＝b.(1)用a、b表示向量AD，AE，AF，BE，BF；(2)求证：B，E，F三点共线．[答案](1)AD＝(a＋b)，AE＝(a＋b)，AF＝b，BE＝(b－2a)，BF＝(b－2a)(2)略[解析](1)延长AD到G，使AD＝AG，连接BG，CG，得到▱ABGC，所以AG＝a＋b，AD＝AG＝(a＋b)，AE＝AD＝(a＋b)，AF＝AC＝b，BE＝AE－AB＝(a＋b)－a＝(b－2a)．BF＝AF－AB...
