第三课时定点、定值、存在性专题【选题明细表】知识点、方法题号圆锥曲线的定点问题1圆锥曲线的定值问题2,5,6圆锥曲线的存在性问题3,4,7,81.导学号18702516已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,椭圆C过点P(1,),直线PF1交y轴于Q,且=2,O为坐标原点.(1)求椭圆C的方程;(2)设M是椭圆C的上顶点,过点M分别作直线MA,MB交椭圆C于A,B两点,设这两条直线的斜率分别为k1,k2,且k1+k2=2,证明:直线AB过定点.(1)解:因为椭圆C过点P(1,),所以+=1,①因为=2,所以PF2⊥F1F2,则c=1,所以a2-b2=1②,由①②得a2=2,b2=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)证明:当直线AB的斜率不存在时,设A(x0,y0),则B(x0,-y0),由k1+k2=2得+=2,得x0=-1.当直线AB的斜率存在时,设AB的方程为y=kx+m(m≠1),A(x1,y1),B(x2,y2),(1+2k⇒2)x2+4kmx+2m2-2=0,得x1+x2=,x1·x2=,k1+k2=2⇒+=2⇒=2,即(2-2k)x2x1=(m-1)(x2+x1)(2-2k)(2m⇒2-2)=(m-1)(-4km),由于m≠1,所以(1-k)(m+1)=-kmk=m+1,⇒即y=kx+m=(m+1)x+mm(x+1)=y-x.⇒综上得直线AB过定点(-1,-1).2.(2016·河北衡水中学调考)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+12=0相切.(1)求椭圆C的方程;(2)设A(-4,0),过点R(3,0)作与x轴不重合的直线l交椭圆C于P,Q两点,连接AP,AQ分别交直线x=于M,N两点,若直线MR,NR的斜率分别为k1,k2,试问:k1k2是否为定值?若是,求出该定值,若不是,请说明理由.解:(1)由题意得所以故椭圆C的方程为+=1.(2)是定值.设P(x1,y1),Q(x2,y2),M(xM,yM),N(xN,yN),直线PQ的方程为x=my+3,联立所以(3m2+4)y2+18my-21=0,所以y1+y2=,y1y2=,由A,P,M三点共线可知=,所以yM=,同理可得yN=.所以k1k2=×==,因为(x1+4)(x2+4)=(my1+7)(my2+7)=m2y1y2+7m(y1+y2)+49,所以k1k2==-为定值.3.导学号18702517已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,短轴长为2,且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点,过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P,Q两点.(1)求椭圆的方程;(2)当直线l的斜率为1时,求△POQ的面积;(3)在线段OF上是否存在点M(m,0),使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.解:(1)设椭圆方程为+=1(a>b>0),根据题意得b=c=1,所以a2=b2+c2=2,所以椭圆方程为+y2=1.(2)根据题意得直线l方程为y=x-1,解方程组得P,Q坐标为(0,-1),(,),则|PQ|=,点O到直线PQ的距离为,所以S△POQ=.(3)存在.假设在线段OF上存在点M(m,0)(0b>0)的右焦点F(1,0),过点F且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于P,Q两点,当直线PQ经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为60°.(1)求椭圆C的方程;(2)设O为坐标原点,线段OF上是否存在点T(t,0),使得·=·?若存在,求出实数t的取值范围;若不存在,说明理由.解:(1)由题意知c=1,又=tan60°=,所以b2=3,a2=b2+c2=4,所以椭圆C的方程为+=1.(2)存在.设直线PQ的方程为y=k(x-1)(k≠0),代入+=1,得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),线段PQ的中点为R(x0,y0),则x0==,y0=k(x0-1)=-,由·=·得·(+)=·(2)=0,所以直线TR为线段PQ的垂直平分线,直线TR的方程为y+=-(x-),令y=0得T点的横坐标t==,因为k2∈(0,+∞),所以+4∈(4,+∞),所以t∈(0,).所以线段OF上存在点T(t,0)使得·=·,其中t∈(0,).5.导学号18702518已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,且过点(,).(1)求椭圆的方程;(2)设不过原点O的直线l:y=kx+m(k≠0),与该椭圆交于P,Q两点,直线OP,OQ的斜率依次为k1,k2,满足4k=k1+k2,试问:当k变化时,m2是否为定值?若是,求出此定值,并证明你的结论;若不是,请说明理由.解:(1)依题意可得解得a=2,b=1.所以椭圆的方程是+y2=1.(2)当k变化时,m2为定值,证明如下:由得,(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=,(*)因为直线OP,OQ的斜率依次为k1,k2,且...
