专题二集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数§1集合与常用逻辑用语真题热身1．(2011·山东)设集合M＝{x|x2＋x－6<0}，N＝{x|1≤x≤3}，则M∩N等于()A．[1,2)B．[1,2]C．(2,3]D．[2,3]A解析 x2＋x－6<0，∴－3b成立的充分而不必要的条件是()A．a>b＋1B．a>b－1C．a2>b2D．a3>b3A解析要求a>b成立的充分不必要条件，必须满足由选项能推出a>b，而由a>b推不出选项．在选项A中，a>b＋1能使a>b成立，而a>b时a>b＋1不一定成立，故A正确；在选项B中，a>b－1时a>b不一定成立，故B错误；在选项C中，a2>b2时a>b也不一定成立，因为a，b不一定均为正值，故C错误；在选项D中，a3>b3是a>b成立的充要条件，故D也错误．4．(2011·安徽)命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否．定．是()A．所有不能被2整除的整数都是偶数B．所有能被2整除的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数D．存在一个能被2整除的整数不是偶数D解析由于全称命题的否定是特称命题，本题“所有能被2整除的整数都是偶数”是全称命题，其否定为特称命题“存在一个能被2整除的整数不是偶数”．考点整合1．集合(1)集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性，是判断某些对象能否构成一个集合或判断两集合是否相等的依据．(2)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．要特别注意用描述法表示集合时先弄清楚集合的元素是什么，再进行集合间关系的判断及运算．(3)集合间的关系：子集、真子集、空集、集合相等，在集合间的运算中要注意空集的情形．(4)重要结论A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔B⊆A.2．四种命题间的关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系；一个命题的逆命题与它的否命题同真同假．3．含有一个量词的否定(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定：∃x0∈M，綈p(x0)是特称命题．(2)特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定：∀x∈M，綈p(x)是全称命题．4．充分、必要条件设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有从逻辑观点看从集合观点看p是q的充分不必要条件(p⇒q，qp)ABp是q的必要不充分条件(q⇒p，pq)BAp是q的充要条件(p⇔q)A＝Bp是q的既不充分也不必要条件(pq，qp)A与B互不包含分类突破一、集合间关系与运算例1若集合A＝{y|y＝x3，－1≤x≤1}，B＝{x|y＝1－x}，则A∩B等于()A．(－∞，1]B．[－1,1]C．∅D．{1}B解析集合A表示的是函数的值域，y＝x3在[－1,1]上单调递增，所以A＝[－1,1]；集合B表示的是函数的定义域，所以B＝(－∞，1]，因此A∩B＝[－1,1]．归纳拓展解答集合间关系与运算问题的一般步骤：先正确理解各个集合的含义，认清集合元素的属性；再依据元素的不同属性采用不同的方法对集合进行化简求解，一般的规律为：(1)若给定的集合是不等式的解集，用数轴求解；(2)若给定的集合是点集，用数形结合法求解；(3)若给定的集合是抽象集合，用Venn图求解．变式训练1(1)设集合M＝{y|y－m≤0}，N＝{y|y＝2x－1，x∈R}，若M∩N≠∅，则实数m的取值范围是___________．解析M＝{y|y≤m}，N＝{y|y>－1}，结合数轴易知m>－1.(－1,＋∞)(2)(2011·北京)已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}．若P∪M＝P，则a的取值范围是()A．(－∞，－1]B．[1，＋∞)C．[－1,1]D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)C解析由P＝{x|x2≤1}得P＝{x|－1≤x≤1}．由P∪M＝P得M⊆P.又M＝{a}，∴－1≤a≤1.二、逻辑联结词、全(特)称命题例2已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x0∈R，＋2ax0＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．归纳拓展含有逻辑联结词的命题要首先确定构成命题的(一个或两个)命题的真假，求出此时参数成立的条件，再求出含逻辑联结词的命题成立的条件．解由“p且q”是真命题，则p为真命题，q也为真命题．若p为真命题，即x∈[1,2]时，a≤x2恒成立，...
