圆锥曲线中点弦问题VIP免费

1 关于圆锥曲线的中点弦问题 直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。这类问题一般有以下三种类型： （1）求中点弦所在直线方程问题； （2）求弦中点的轨迹方程问题； （3）求弦中点的坐标问题。其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等。 一、求中点弦所在直线方程问题 例 1 过椭圆141 622 yx内一点M（2，1）引一条弦，使弦被点M 平分，求这条弦所在的直线方程。 解法一：设所求直线方程为 y-1=k(x-2)，代入椭圆方程并整理得： 01 6)12(4)2(8)14(2222kxkkxk 又设直线与椭圆的交点为 A(11 , yx)，B（22 , yx），则21 , xx是方程的两个根，于是 14)2(82221kkkxx， 又 M 为 AB 的中点，所以214)2(422221kkkxx， 解得21k， 故所求直线方程为042yx。 解法二：设直线与椭圆的交点为 A(11 , yx)，B（22 , yx），M（2，1）为 AB 的中点， 所以421 xx，221 yy， 又 A、B 两点在椭圆上，则1 642121yx，1 642222yx， 两式相减得0)(4)(22212221yyxx， 所以21)(421212121yyxxxxyy，即21ABk， 故所求直线方程为042yx。 解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为 A(yx ,)，由于中点为 M（2，1）， 则另一个交点为 B(4-yx2,)， 因为 A、B 两点在椭圆上，所以有1 6)2(4)4(1 642222yxyx， 两式相减得042yx， 由于过 A、B 的直线只有一条， 故所求直线方程为042yx。 二、求弦中点的轨迹方程问题 例 2 过椭圆13 66 422 yx上一点P（-8，0）作直线交椭圆于Q 点，求PQ 中点的轨迹方程。 解法一：设弦PQ 中点M（yx,），弦端点P（11 , yx），Q（22 , yx）， 2 则有5 7 61 695 7 61 6922222121yxyx，两式相减得0)(1 6)(922212221yyxx， 又因为xxx221，yyy221，所以0)(21 6)(292121yyyxxx， 所以yxxxyy1 692121，而)8(0 xykPQ，故81 69 xyyx。 化简可得01 67 2922yxx （8x）。 解法二：设弦中点M（yx,），Q（11 , yx），由281  xx，21yy可得821xx，yy21 ， 又因为Q 在椭圆上，所以13 66 42121 yx，即13 646 4)4(422yx， 所以PQ ...