习题------ 数学方法解物理问题一、分类习题讨论（一） 二次函数配方法把二次函数y=ax2+bx+c 配方得abacabxay44)2(22，若a>0，则当abx2时， y 有极小值：abacy442min；若 a<0时，则当当abx2时，y 有极大值：abacy442max。如果一个物理问题能建立y=ax2+bx+c 的数学模型， 就可以用上述方法求出其极值。例1．一辆汽车从静止开始以1m/s2 的加速度前进，车后相距s0=25m 处，与车运动方向相同的某人同时开始以6m/s 的速度匀速追车，能否追上？若追不上，求人、车间的最小距离是多少？解析当经过时间 t 后，汽车前进的位移为2121 atx而人前进的位移为tx 2此时人、车相距的距离为210xxsx代入相关数据可得7)6(212562122tttx上述表达式中，x 是 t 的二次函数，从该函数式一下子就可以看出，x不可能等于 0，即人不可能追上汽车，还可以看出，当t=6s 时，人、车具有最短距离x min=7m。（二） 三角函数法三角函数里有很多关系式，如：cossin22sin、1cossin22、sinsincoscos)cos(等. 有时，处理物理极值问题时， 这一类关系式是很需要的。例2．给房屋设计屋顶时，把屋顶设计成斜面，把雨水沿着屋顶滑下的运动理想化为小球沿光滑斜面滑下的情形，为了要使雨水能尽快地滑下并从屋檐落下，则斜面的倾角应设计成多大的角度？按这种设计，雨水从屋顶到屋檐的时间为多少？解析如图，设从屋顶 A 到屋檐 B 的水平距离为 L，且斜面 AB 的倾角为 θ 。当雨水（理想化为图中的小球）从斜面滑下时，其加速度为 a=gsin θ , 从 A 到 B 的距离为 L/cos θ ,设从 A 到 B 所用的时间为 t ，则2sin21costgL得2sin4cossin2gLgLt当 2θ =90o，sin2 θ 有最大值：（sin2θ ）max=1。所以，当 θ =45o时， t 有最小值： tmin=gL2例3．重量为 G 的木块与水平地面间的动摩擦因数为μ ，一人欲用最小的作用力使木块做匀速运动，则此最小作用力的大小和方向应如何？解析木块在运动中受摩擦力作用， 要减小摩擦力， 应使作用力 F 斜向上，设当 F 斜向上与水平方向的夹角为α 时，F 的值最小，木块受力分析如图所示，由平衡条件知：Fcosα -μ N=0 Fsin α +N-G=0 解以上二式得sincosGF令 tan，则21sin，211cos)cos(1)sinsincos(cos1sincos22可见，当 α =arctan时，F 有最小值。即2min1GF（三） 基本不等式法若 a>0、b>0，则有基本不等式abba22，且当 a=b 时取等号，如果变量 a 与 b 的积是个...
