极坐标与参数方程中的轨迹问题专题训练

1 极坐标与参数方程中的轨迹问题（含答案） 该类问题在高考中比较常见题型，但是学生掌握得比较差，在高考中得分率较低。有的学校由于复习时间限制，往往把宝压在第22 题，而不讲“不等式选讲内容”，这是不可取的策略，例如 2017 年的全国 3卷 22 题的第一问，很多同学无法拿下；还有2018 年全国 3 卷的第二问，很多同学不会做。究其原因，是学生对此类题型不理解解题思路，平时练得少造成。下面就全国卷在第22 题对轨迹问题的考察进行归纳总结，并配相应练习，让学生通过举一反三的练习突破该难点。 类型一：轨迹的参数方程 例 1 ．（2 0 1 7 全国 3 卷）在平面直角坐标系 x Oy 中，直线1l 的参数方程为2+xtykt（t 为参数），直线2l 的参数方程为2xmmmyk  （为参数）．设1l 与2l 的交点为 P ，当 k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． （1 ）写出C 的普通方程； （2 ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设3cossin20l：，M 为3l 与C 的交点，求 M 的极径． 解： ⑴将参数方程转化为一般方程 1 :2lyk x ① 21:2lyxk ② ①② ，消 k 可得224xy，即点 P 的轨迹方程为224xy0y ． ⑵将极坐标方程转化为一般方程3 :20lxy，联立22204xyxy ，解得3 2222xy  ． 由cossinxy ，解得5 ，即 M 的极半径是5 ． 点评：本题大部分学生的问题是得到①式和②式后不懂得如何处理，k变化时两条直线位置发生变化，从而生成点P的轨迹，因此，k就是点P参数方程的参数，得到①式和②式后消去参数k就得到点P的轨迹方程． 例 2．（2 0 1 8 全国 3 卷）在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为 的直线 与交于两点． （ 1）求 的取值范围； （ 2）求中点 的轨迹的参数方程． 2 解：（ 1（的直角坐标方程为（ 当时，与交于两点（ 当时，记 ，则的方程为（ 与交于两点当且仅当，解得或，即 或（ 综上，的取值范围是（ （ 2（ 方法 1：的参数方程为为参数， （ 设 （（对应的参数分别为（（，则，且（满足（ 于是（（ 又点的坐标满足 所以点的轨迹的参数方程是 为参数， （ （其中，还可以这样求：因为直线 AB 的方向向量 sin,cose，sin2,cosppttOP...