利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧云南省文山州砚山一中，（663100） 马兴奎趣题引入（2004 年，全国卷）已知函数 设，证明：分析：本题是 2004 年全国卷理科压轴题，主要考查利用导数证明不等式的能力。证明：，设 当时 ，当时 ，即在上为减函数，在上为增函数∴，又 ∴，即 设 当时，，因此在区间上为减函数；因为，又 ∴，即 故综上可知，当 时，本题在设辅助函数时，考虑到不等式涉及的变量是区间的两个端点，因此，设辅助函数时就把其中一个端点设为自变量，范例中选用右端点，读者不妨设为左端点试一试，就能体会到其中的奥妙了。技巧精髓一、利用导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。二、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。1、利用题目所给函数证明 【例 1】 已知函数，求证：当时，用心 爱心 专心 115 号编辑恒有分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数，从其导数入手即可证明。【绿色通道】 ∴当时，，即在上为增函数 当时，，即在上为减函数故函数的单调递增区间为，单调递减区间于是函数在上的最大值为，因此，当时，即∴ （右面得证），现证左面，令， 当 ，即在上为减函数，在上为增函数，故函数在上的最小值为，∴当时，，即∴，综上可知，当 【警示启迪】如果是函数在区间上的最大（小）值，则有（或），那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过 就可得证．2、直接作差构造函数证明【例 2】已知函数 求证：在区间上，函数的图象在函数的图象的下方；分析：函数的图象在函数的图象的下方问题，即，只需证明在区间上，恒有成立，设，，考虑到要证不等式转化变为：当时，，这只要证明： 在区间是增函数即可。【绿色通道】设，即，用心 爱心 专心 115 号编辑则=当时，=从而在上为增函数，∴∴当时 ，即，故在区间上，函数的图象在函数的图象的下方。【警示启迪】本题首先根据题意构造出一个函数（可以移项，使右边为零，将移项后的左式设为函数），并利用导数判断所设函数的单调性，再根据函数单调性的定义，证明要证的不等式。读者也可以设做一做，深刻体会其中的思想方法。3、换元后作差构造函数证明【例 3】（2007 年，山东卷）证明：对任意的...
