L型广义扩张原理及其在模糊集范畴中的应用分析研究 应用数学专业VIP免费

L型广义扩张原理及其在模糊集范畴中的应用摘要：本文首先给出了L型模糊集的广义扩张原理，并讨论了它的基本性质；然后定义了两个L型模糊集范畴(L)与(L)，并证明了范畴(L)与范畴SET同构且范畴(L)同构于范畴(L)的一个子范畴。本文的结果可应用于泛型信息处理的设计中.关键词：范畴；L型模糊集范畴；L型模糊集的广义扩张原理；扩张原理是Zadeh模糊集合论的主要工具之一，关于扩张原理及其推广已有许多文献论及。文[6]曾针对模糊关系提出了广义扩张原理并讨论了它的一些基本性质。本文将给出基于L型模糊关系的L型广义扩张原理，在此基础上通过L型广义扩张原理构造两个模糊集范畴，并讨论它们的相互关系。1．预备知识本节将给出范畴理论中几个基本定义。定义1所谓一个范畴，是指（1）它有一类对象，其全体记为；（2）对于任意A，B，定义了一个集合，记作H(A,B)，其中的元素称为从A到B的态射；（3）对于任意A，B，C，定义了映射：H(A,B)H(B,C)H(A,C)记(f,g)=gf，称为态射的复合运算，满足：1）对任意fH(A,B)，gH(B,C)，hH(C,D)，如下结合律成立：h(gf)=(hg)f2）对任意A，存在IAH(A,A)，使得对于任意B，C，任意fH(A,B)，gH(B,A)，有：fIA=f，IAg=g。定义2设1，2是两个范畴，称T为1到2的函子，如果（1）T：|1||2|是一个映射；（2）对任意A，B|1|，由T确定如下一个映射，仍记作T，T：H(A,B)H(T(A),T(B))，满足：1）T(fg)=T(f)T(g)2）T(IA)=IT(A)定义3称1是范畴的一个子范畴，如果1满足：（1）1是一个范畴；（2）|1|||；（3）对于任意A，B|1|，满足H1(A,B)H(A,B)。（4）对于fH(A,B)，gH(B,C)，则gf=gfH(A,C)。定义4设C，B是两个范畴，T：CB是一个函子。如果T既是范畴C和B的对象集之间的双射又是其相应态射集之间的双射，则称范畴C和B是同构的，T称为C到B的同构函子。2．L型模糊集的广义扩张原理及其性质：1975年，Zadeh提出了扩张原理。扩张原理是模糊集合论的主要工具之一。它把普通集合之间的点态映射扩张为相应的模糊集之间集值映射，这样，数学中的很多结构，如序结构、可测结构、代数结构等，都可以从其论域上升到论域的幂集上，形成相应的结构。关于扩张原理的性质以及广义扩张原理问题，也有诸多文献论及。本节将讨论基于L型模糊关系的L型广义扩张原理及其基本性质。在本文中恒假设L是一个完全分配格，1和0表示L上的最大元和最小元。设X为一集合，Ψ(X)表示由集合X上的模糊集组成的集合。ΨL(X)表示X上的L型模糊集组成的集合。若AΨL(X)，uA，都有A(u)=0，则A称为空集；若uA，都有A(u)=1，则A称为全集X。L型扩张原理：设f：XY，则由f可导出F：ΨL(X)ΨL(Y)，以及F-1：ΨL(Y)ΨL(X)，对任意AX，BY，有F(A)(y)=A(x)，yYF-1(B)(x)=B(f(x))，xXL型广义扩张原理：设RΨL(XY)是一L型模糊关系，则由R可导出：ΨL(X)ΨL(Y)，以及-1：ΨL(Y)ΨL(X)，对任意AX，BY，定义如下：(A)(y)=(R(x,y)A(x))，yY-1(B)(x)=(R(x,y)B(y))，xX定义5设f：XY为一映射，如下定义的二元关系RfΨL(XY)，称为由f确定的二元关系，其中，对任意(x,y)XYRf(x,y)=我们把根据L型广义扩张原理由Rf导出的映射记为f；根据L型扩张原理由f导出的映射记为F。则我们有定理2.1设f：XY，g：YZ，根据L型扩张原理由f，g以及其复合映射g•f导出的映射分别为F：ΨL(X)ΨL(Y)，G：ΨL(Y)ΨL(Z)，H：ΨL(X)ΨL(Z)，则H=G•F。证明：对任意AΨL(X)，cC，有G•F(A)(c)=G(F(A))(c)=F(A)(b)=(A(a))=A(a)=H(A)(c)所以有H=G•F定理2.2设f：XY，AΨL(X)，BΨL(Y)，则有f(A)=F(A)f-1(B)=F-1(B)证明：对于yY，有f(A)(y)=(Rf(x,y)A(x))=(Rf(x,y)A(x))(Rf(x,y)A(x))=(Rf(x,y)A(x))=A(x)=F(A)(y)从而有f(A)=F(A)。对于xX，f-1(B)(x)=(Rf(x,y)B(y))=Rf(x,f(x))B(f(x))=B(f(x))=F-1(B)(x)因此有f-1(B)=F-1(B)成立。证毕。此定理说明，L型广义扩张原理是Zadeh扩张原理的自然推广。由定理2.1和2.2可得如下推论。推论设f：XY，g：YZ，f与g分别为由f与g确定的L型模糊关系，则有fg=fg定理2.3设RΨL(XY)，AiΨL(X)（iI），BjΨL(Y...