第3讲圆锥曲线的综合问题一、填空题1．若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)与直线y＝x无交点，则离心率e的取值范围是________．解析因为双曲线的渐近线为y＝±x，要使直线y＝x与双曲线无交点，则直线y＝x应≤在两渐近线之间，所以有，即b≤a，所以b2≤3a2，c2－a2≤3a2，即c2≤4a2，e2≤4，所以1＜e≤2.答案(1,2]2．已知椭圆＋＝1(0＜b＜2)，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若BF2＋AF2的最大值为5，则b的值是________．解析由椭圆的方程，可知长半轴长为a＝2；由椭圆的定义，可知AF2＋BF2＋AB＝4a＝8，所以AB＝8－(AF2＋BF2)≥3，由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即＝3，可求得b2＝3，即b＝.答案3．已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则PA1·PF2的最小值为________．解析由已知得A1(－1,0)，F2(2,0)．设P(x，y)(x≥1)，则PA1·PF2＝(－1－x，－y)·(2－x，－y)＝4x2－x－5.令f(x)＝4x2－x－5，则f(x)在[1∞，＋)上单调递增，所以当x＝1时，函数f(x)取最小值，即PA1·PF2取最小值，最小值为－2.答案－24．已知A(1,2)，B(－1,2)，动点P满足AP⊥BP.若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线与动点P的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是________．解析设P(x，y)，由题设条件，得动点P的轨迹为(x－1)(x＋1)＋(y－2)(y－2)＝0，即x2＋(y－2)2＝1，它是以(0,2)为圆心，1为半径的圆．又双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，由题意，可得＞1，即＞1，所以e＝＜2，又e＞1，故1＜e＜2.答案(1,2)5．若椭圆＋＝1(a＞b＞0)与双曲线－＝1的离心率分别为e1，e2，则e1e2的取值范围为________．解析可知e＝＝1－，e＝＝1＋，所以e＋e＝2＞2e1e2⇒0＜e1e2＜1.答案(0,1)6．已知椭圆＋＝1(0
