高三数学（文）双曲线综合复习（二）知识精讲人教版一.本周教学内容：双曲线综合复习（二）【典型例题】[例1]已知双曲线C的实半轴与虚半轴长的乘积为，C的两个焦点分别为、，直线过且与直线的夹角为，，与线段的垂直平分线的交点是P，线段PF2与双曲线C的交点为Q，且，求双曲线C的方程。解：如图，以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立直角坐标系，设双曲线C为（），则的方程为，P的坐标为（）由又点Q在双曲线上，将其代入双曲线方程得又整理得解得或（舍去）于是，又由已知，可得故所求双曲线方程为[例2]如图，已知双曲线C：，若C的上半支的顶点为A，且与直线交于P，以A为焦点，M（）为顶点的开口向下的抛物线通过点P，当C的一条渐近线的斜率在区间上变化时，求直线PM斜率的最大值。用心爱心专心116号编辑解：设直线PM的斜率是，双曲线方程为其渐近线方程是，故解之，得双曲线与直线交点P位于第二象限，则由双曲线方程可得A坐标为（0，1），又由M（）故抛物线方程为又由P（）在抛物线上，则由代入上式得又，故又，可解得最大值为[例3]已知双曲线C：及直线：，且双曲线C1与双曲线C关于直线对称。（1）求双曲线C1的方程；（2）若直线：与双曲线C1交于不同的两点C、D，且C、D两点都在以A（0，）为圆心的圆上，求的取值范围。解：（1）设P（）为双曲线C1上一点，点P关于的对称点Q（）C1：，在C上，依题意代入双曲线C中，并整理得，此即双曲线C1的方程（2）设弦端点坐标分别为C（），D（）用心爱心专心116号编辑由由与C1有两个不同交点，则（*）由韦达定理，设CD中点M（）则由代入（*）式得，或，故或[例4]设，曲线和有4个不同交点。（1）求的取值范围；（2）证明这4个交点共圆，并求圆半径的取值范围。解：（1）两曲线交点坐标（）满足方程组有4个交点又，故（2）由（1）可知4个交点坐标满足方程即将4个交点共圆，该圆的圆心在原点，半径由在（0，）上单减，则[例5]将双曲线的中心沿直线向上方平移，同时保持对称轴平行于坐标轴，平移后的曲线C在直线上截得的弦长为。（1）求曲线C的方程；用心爱心专心116号编辑（2）在：上任取一点M，以曲线C的焦点为焦点，过M作椭圆，M点的坐标为何值时，的长轴最短，并求此时椭圆的方程。解：（1）设C的中心为C（）（），则曲线C的方程为，由弦长为，则整理得，则C：另法，把问题等价转化为沿直线向下方平移直线，则平移后直线即代入双曲线并整理得利用韦达定理，由弦长为，有整理得，则双曲线C的中心为（）故双曲线C：（2）依题意，的中心仍为点C，的焦距与双曲线C相同，设椭圆C的方程为，与联立，消去，得由得，故椭圆的方程为【模拟试题】（答题时间：40分钟）1.焦点在（）和（4，3）的双曲线的一条准线方程为，则该双曲线的一条渐用心爱心专心116号编辑近线的方程为（）A.B.C.D.2.关于的方程有解，则的取值范围是（）A.B.C.D.3.曲线与曲线有共同焦点，，P为两曲线的公共点，则的面积为。4.已知曲线C：，一条长为8的弦，AB两端在C上运动，AB中点为M，则距轴最近的M点的坐标为。5.是否存在同时满足下列条件的双曲线，若存在，求出双曲线的方程，若不存在，说明理由。（1）以原点O为焦点，以：为相应的准线；（2）双曲线上存在两点A、B关于直线：对称且。[参考答案]1.A2.D3.4.或5.解：设双曲线离心率为，设P（）在双曲线上，则设，作于，于由O在AB中垂线上，则由双曲线第二定义，有中点又由又由斜率为，倾斜角满足，又由故由A在双曲线上，则故双曲线存在，其方程为整理，即用心爱心专心116号编辑用心爱心专心116号编辑
