高三数学等比数列通用版知识精讲VIP专享VIP免费

高三数学等比数列通用版【本讲主要内容】等比数列等比数列的概念和有关性质、等比数列的通项公式、前n项公式。【知识掌握】【知识点精析】1.等比数列的概念：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。例如：数列1，3，9，27，……；数列5525458，，，，都是等比数列，它们的公比分别是3，12。2.等比数列的有关性质：根据等比数列的定义，我们可以得到几条常用的基本性质，在等比数列{}an中①若pqmnpqmnN()*、、、，则aaaapqmn；②若iiiiNkNk123，，，，()**成等差数列，则aaaiii123，，，仍成等比数列；③aaaiiinniinnin，，，122131仍成等比数列。另外，若a、b、c三数成等比数列，则称b为a、c的等比中项，且bac。3.等比数列的通项公式为aaqnNnn11()*，其中a1是等比数列的首项，q是公比（a1、q均不为0），an是等比数列第n项。4.等比数列的前n项和公式为，当q≠1时，Saqqnn111()或Saaqqnn11其中a1是等比数列的首项，an是第n项，q是公比，Sn是前n项和当q＝1时，Snan1，对于q≠1时，前n项和公式的推导方法是值得注意的，它是用了“错位相减法”而得出的，简单推导如下：Saaaaaqaqaqnnn12111211，将此式两边同乘q，得：qSaqaqaqnn1121将上面二式相减得：SqSaaqnnn11qSaqqnn1111，()【解题方法指导】例1.（1）在等比数列{}an中，若aaaa28373615，，求公比q。（2）有三个数成等比数列，其和为21，若第三个数减9，则它们成等差数列，求这三个数；（3）若方程xxm250与xxn2100的四个实根适当排列后恰好组成一个首项为1的等比数列，求m：n的值。解：（1）aaaa372836，又aa3715aa37312，或aa37123，又aaq734q44或q414q2或q22（2）设三个数分别为a，aq，aq2由已知得aaqaqaqaaq222129解得：q＝4，a＝1或qa1416，∴这三个数是1，4，16或16，4，1（3）设方程xxm250的两实根为xx12，，方程xxn2100的两实根为xx34，，则有xxxxmm121252540及xxxxnn34341010040 四个根组成的数列是首项为1的等比数列∴若x1＝1，则x2＝4xx3410，∴x2是数列的第三项xx3428，此时m＝4，n＝16mn：14若x3＝1，则x4＝9xx125，∴x4不可能为数列的某一项综上述，mn：14评述：本例中第（1）（2）小题均是运用等比数列的概念和基本性质而得解的。第（3）小题中，综合了二次方程的基本知识，而且在求解过程中，要判断四个根分别应为数列中的第几项。例2.（2005年北京卷）数列{}an的前n项和为Sn，且aaSnn11113，，n＝1，2，3，…，求：（I）a2，a3，a4的值及数列{}an的通项公式；（II）aaaan2462的值。解题思路分析：由已知条件可以代入n＝1，2，3，再由S1，S2，S3与a1，a2，a3的关系，就可求出a2，a3，a4，求{}an的通项公式时，需用SSnnn12()，要注意所得an是n2的情况。此题第（II）问，应先判断a2，a4，…a2n是哪种类型的数列，然后用相应公式求解。解：（I）由aaSnn11113，，n＝1，2，3…得aSa211131313aSaa3212131349()aSaaa4312313131627()由aaSSannnnnn111313132()得aannn1432()又aannn221313432，()()所以，数列{}an的通项公式为annnn11134322，，()（II）由（I）可知，aaaan2462，，，，是首项为13，公比为()432，项数为n的等比数列aaannn2422221314314337431[()]()[()]【考点突破】【考点指要】等比数列的问题在高考题中出现的较多，在选择题、填空题中，如2006年高考文科的北京卷、重庆卷、湖北卷；理科的辽宁卷等都有等比数列的基本问题。在解答题中就更多了，主要是等比数列与等差数列或其它数学知识综合运用的问题，占高考题中数列问题的绝大部分，所以...