第54练平行与垂直综合练训练目标能熟练应用线面平行、垂直的定理及性质证明平行、垂直问题．训练题型(1)证明线线、线面、面面平行与垂直；(2)探求平行、垂直关系成立时满足的条件．解题策略用分析法找思路，用综合法写过程，注意特殊元素的运用.1.(2016·天津模拟)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AD，DD1的中点．求证：(1)EF∥平面C1BD；(2)A1C⊥平面C1BD.2．如图①所示，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，CD为∠ACB的平分线，点E在线段AC上，CE＝4，将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，连接AB，BE，如图②所示，设点F是AB的中点．(1)求证：DE⊥平面BCD；(2)若EF∥平面BDG，其中G为AC上一点，求三棱锥B－DEG的体积．3.如图，四棱锥P－ABCD的底面为矩形，AB＝，BC＝1，E，F分别是AB，PC的中点，DE⊥PA.(1)求证：EF∥平面PAD；(2)求证：平面PAC⊥平面PDE.4．(2016·北京海淀区下学期期中)如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，BC＝2AD，四边形ABEF是矩形，将矩形ABEF沿AB折起到四边形ABE1F1的位置，使平面ABE1F1⊥平面ABCD，M为AF1的中点，如图2.(1)求证：BE1⊥DC；(2)求证：DM∥平面BCE1；(3)判断直线CD与ME1的位置关系，并说明理由．答案精析1．证明(1)如图，连接AD1，∵E，F分别是AD和DD1的中点，∴EF∥AD1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB∥D1C1，AB＝D1C1，∴四边形ABC1D1为平行四边形，即有AD1∥BC1，∴EF∥BC1.又EF⊄平面C1BD，BC1⊂平面C1BD，∴EF∥平面C1BD.(2)如图，连接AC，则AC⊥BD.∵在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴AA1⊥BD.又AA1∩AC＝A，AA1⊂平面AA1C，AC⊂平面AA1C，∴BD⊥平面AA1C，A1C⊂平面AA1C，∴A1C⊥BD.同理可证A1C⊥BC1.又BD∩BC1＝B，BD⊂平面C1BD，BC1⊂平面C1BD，∴A1C⊥平面C1BD.2．(1)证明取AC的中点P，连接DP，因为在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，CD为∠ACB的平分线，所以∠A＝30°，△ADC是等腰三角形，所以DP⊥AC，DP＝，∠DCP＝30°，∠PDC＝60°.又点E在线段AC上，CE＝4，所以AE＝2，EP＝1，所以∠EDP＝30°，所以∠EDC＝90°，所以ED⊥DC.因为平面BCD⊥平面ACD，且平面BCD∩平面ACD＝DC，所以DE⊥平面BCD.(2)解若EF∥平面BDG，其中G为AC上一点，则易知G为EC的中点，此时AE＝EG＝GC＝2.因为在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，CD为∠ACB的平分线，所以BD＝，DC＝＝2，所以B到DC的距离h＝＝＝.因为平面BCD⊥平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝DC，所以B到DC的距离h就是三棱锥B－DEG的高，所以三棱锥B－DEG的体积V＝·S△DEG·h＝××＝.3．证明(1)如图，取PD中点G，连接AG，FG，因为F，G分别为PC，PD的中点，所以FG∥CD，且FG＝CD.又因为E为AB中点，所以AE∥CD，且AE＝CD.所以AE∥FG，AE＝FG.所以四边形AEFG为平行四边形．所以EF∥AG，又EF⊄平面PAD，AG⊂平面PAD，所以EF∥平面PAD.(2)设AC∩DE＝H，由△AEH∽△CDH及E为AB中点，得＝＝，又因为AB＝，BC＝1，所以AC＝，AH＝AC＝.所以＝＝，又∠BAC为公共角，所以△HAE∽△BAC.所以∠AHE＝∠ABC＝90°，即DE⊥AC.又DE⊥PA，PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，所以DE⊥平面PAC.又DE⊂平面PDE，所以平面PAC⊥平面PDE.4．(1)证明因为四边形ABE1F1为矩形，所以BE1⊥AB.因为平面ABCD⊥平面ABE1F1，且平面ABCD∩平面ABE1F1＝AB，BE1⊂平面ABE1F1，所以BE1⊥平面ABCD.因为DC⊂平面ABCD，所以BE1⊥DC.(2)证明因为四边形ABE1F1为矩形，所以AM∥BE1.因为AD∥BC，AD∩AM＝A，BC∩BE1＝B，AD⊂平面ADM，AM⊂平面ADM，BC⊂平面BCE1，BE1⊂平面BCE1，所以平面ADM∥平面BCE1.因为DM⊂平面ADM，所以DM∥平面BCE1.(3)解直线CD与ME1相交，理由如下：取BC的中点P，CE1的中点Q，连接AP，PQ，QM，所以PQ∥BE1，且PQ＝BE1.在矩形ABE1F1中，M为AF1的中点，所以AM∥BE1，且AM＝BE1，所以PQ∥AM，且PQ＝AM.所以四边形APQM为平行四边形，所以MQ∥AP，MQ＝AP.因为四边形ABCD为梯形，P为BC的中点，BC＝2AD，所以AD∥PC，AD＝PC，所以四边形ADCP为平行四边形．所以CD∥AP且CD＝AP.所以CD∥MQ且CD＝MQ.所以四边形CDMQ是平行四边形．所以DM∥CQ，即DM∥CE1.因为DM≠CE1，所以四边形DME1C是以DM，CE1为底边的梯形，所以直线CD与ME1相交．
