4.5.2利用数量积计算长度和角度双基达标(限时20分钟)1．下列命题正确的个数是()．①AB＋BA＝0②0·AB＝0③AB－AC＝BC0·④AB＝0A．1B．2C．3D．4解析①④正确，②③错．答案B2．已知|a|＝1，|b|＝，(a－b)⊥a，则a与b的夹角是()．A．30°B．45°C．60°D．90°解析(a－b)·a＝0，a2－a·b＝0，∴a·b＝|a|2＝1.∴cosθ＝＝，∴θ＝45°.答案B3．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|＝()．A.B.C.D．4解析|a＋3b|＝＝＝.答案C4．已知a⊥b，(3a＋2b)⊥(ka－b)，若|a|＝2，|b|＝3，则实数k的值为________．解析由已知a·b＝0，a2＝4，b2＝9，由(3a＋2b)·(ka－b)＝0⇒3ka2＋(2k－3)a·b－2b2＝0，∴12k－18＝0，∴k＝.答案5．若两个向量a，b满足|a＋b|＝1，|a－b|＝，则a·b＝________.解析(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝1，(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝，两式相减，得a·b＝.答案6．已知|a|＝|b|＝1，且|a＋b|＝|a－b|，求|3a－2b|.解由已知|a＋b|2＝3|a－b|2，即(a＋b)2＝3(a－b)2.∴a2＋2a·b＋b2＝3(a2－2a·b＋b2)．|∵a|＝|b|＝1，∴a2＝b2＝1.从而有2＋2a·b＝3(2－2a·b)，∴a·b＝.|3∴a－2b|2＝(3a－2b)2＝9a2－12a·b＋4b2＝9－6＋4＝7.|3∴a－2b|＝.综合提高限时25分钟7．如图，非零向量OA＝a，OB＝b，且BC⊥OA，C为垂足，设向量OC＝λa，则λ的值为()．A.B.C.D.解析BC＝OC－OB＝λa－b.∵BC⊥OA，∴(λa－b)·a＝0，λ|a|2＝a·b，λ＝.答案A8．已知|a|＝|b|＝1，|3a－2b|＝3，则|3a＋b|等于()．A.B．2C．2D．3解析由|3a－2b|＝3，得9|a|2－12a·b＋4|b|2＝9，∴a·b＝，∴|3a＋b|＝＝＝2.答案C9．已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b·(a－b)＝0，则|b|的取值范围是________．解析b·(a－b)＝a·b－|b|2＝|a|·|b|cosθ－|b|2＝0，∴|b|＝|a|cosθ＝cosθ(θ为a与b的夹角)，θ∈[0，π]，又|b|≥0，∴0≤|b|≤1.答案[0，1]10．在△ABC中，已知|AB|＝|AC|＝4，且AB·AC＝8，则这个三角形的形状是________．解析AB·AC＝|AB|·|AC|cosA＝4×4×cosA＝8，∴cosA＝，又A∈(0，π)，∴A＝，又|AB|＝|AC|，∴△ABC为等边三角形．答案等边三角形11．已知|a|＝4，|b|＝2，且a与b的夹角为120°.求：(1)|2a－b|；(2)(a－2b)·(a＋b)；(3)a与a＋b的夹角；(4)若(a－b)⊥(λa＋b)，求λ的值．解(1)因为|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝4×16－4×4×2×(－)＋4＝84，所以|2a－b|＝2.(2)(a－2b)·(a＋b)＝a2－a·b－2b2＝42－4×2×(－)－2×22＝12.(3)因为|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×4×2×(－)＋4＝12，所以|a＋b|＝2.又a·(a＋b)＝a2＋a·b＝42＋4×2×(－)＝12，设a与a＋b的夹角为θ，则由cosθ＝＝＝，可得a与a＋b的夹角θ为.(4)因为(a－b)⊥(λa＋b)，所以(a－b)·(λa＋b)＝0，即λa2＋(1－λ)a·b－b2＝0，也就是16λ－4(1－λ)－4＝0，解得λ＝.12．(创新拓展)已知a⊥b，且|a|＝2，|b|＝1，若对两个不同时为零的实数k、t，使得a＋(t－3)b与－ka＋tb垂直，试求k的最小值．解∵a⊥b，∴a·b＝0.又由已知，[a＋(t－3)b]·(－ka＋tb)＝0，∴－ka2＋t(t－3)b2＝0.|∵a|＝2，|b|＝1，∴－4k＋t(t－3)＝0.∴k＝(t2－3t)＝－(t≠0)．故当t＝时，k取最小值－.
