14个填空题专项强化练(十二)椭圆、双曲线和抛物线A组——题型分类练题型一椭圆的定义及标准方程1．设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且PF1∶PF2＝4∶3，则△PF1F2的面积为________．解析：因为PF1＋PF2＝14，又PF1∶PF2＝4∶3，所以PF1＝8，PF2＝6.因为F1F2＝10，所以PF1⊥PF2.所以S△PF1F2＝PF1·PF2＝×8×6＝24.答案：242．一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且PF1，F1F2，PF2成等差数列，则椭圆方程为________________．解析：设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由点(2，)在椭圆上，知＋＝1.①又PF1，F1F2，PF2成等差数列，则PF1＋PF2＝2F1F2，即2×2c＝2a，＝，②又c2＝a2－b2，③联立①②③得a2＝8，b2＝6.故椭圆方程为＋＝1.答案：＋＝1[临门一脚]1．求椭圆的标准方程，常采用“先定位，后定量”的方法(待定系数法)．如若不能确定焦点的位置，则两种情况都要考虑，这一点一定要注意，不要遗漏，此时设所求的椭圆方程为一般形式：Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0且A≠B)；若A＜B，则焦点在x轴上；若A＞B，则焦点在y轴上．2．椭圆的定义中一定满足“PF1＋PF2＝2a，且a＞c”，用椭圆的定义求解a，b，c有时比用方程简便．题型二椭圆的几何性质1．椭圆＋＝1的离心率是________．解析：根据题意知，a＝3，b＝2，则c＝＝，∴椭圆的离心率e＝＝.答案：2．椭圆x2＋my2＝1的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m＝________.解析：由题意可得，＝，所以m＝4.答案：43．已知圆C1：x2＋2cx＋y2＝0，圆C2：x2－2cx＋y2＝0，椭圆C：＋＝1(a>b>0)，若圆C1，C2都在椭圆内，则椭圆离心率的取值范围是________．解析：圆C1，C2都在椭圆内等价于圆C2的右顶点(2c,0)，上顶点(c，c)在椭圆内部，∴只需⇒0<≤.答案：4．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为________．解析：以线段A1A2为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，由原点到直线bx－ay＋2ab＝0的距离d＝＝a，得a2＝3b2，所以C的离心率e＝＝.答案：[临门一脚]1．弄清楚a，b，c，e的几何意义，以及相关的点坐标、线的方程的表示．2．求解几何性质之前方程应先化为标准式，否则会混淆a，b.3．离心率求解主要是根据几何条件建立关于a，b，c的方程或不等式．题型三双曲线的定义及标准方程1．F1，F2分别是双曲线C：－＝1的左、右焦点，P为双曲线C右支上一点，且|PF1|＝8，则△PF1F2的周长为________．解析：由双曲线的方程可知a＝3，b＝，所以c＝4，则|PF2|＝|PF1|－2a＝2，|F1F2|＝2c＝8，据此可知△PF1F2的周长为8＋2＋8＝18.答案：182．已知双曲线经过点(2，1)，其一条渐近线方程为y＝x，则该双曲线的标准方程为________________．解析：设双曲线的方程为－y2＝λ(λ≠0)，则－12＝λ，解得λ＝1，故双曲线的标准方程为－y2＝1.答案：－y2＝13．(2018·柳州模拟)设双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|AF2|＋|BF2|的最小值为________．解析：|AF2|＋|BF2|＝2a＋|AF1|＋2a＋|BF1|＝4a＋|AB|≥4a＋＝4×3＋＝16.答案：164．设双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，其中一个交点的坐标为(，4)，则此双曲线的标准方程是____________．解析：法一：椭圆＋＝1的焦点坐标是(0，±3)，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，根据双曲线的定义知2a＝|－|＝4，故a＝2.又b2＝32－a2＝5，故所求双曲线的方程为－＝1.法二：椭圆＋＝1的焦点坐标是(0，±3)．设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则a2＋b2＝9，①又点(，4)在双曲线上，所以－＝1，②联立①②解得a2＝4，b2＝5.故所求双曲线的方程为－＝1.法三：设双曲线的方程为＋＝1(27<λ<36)，由于双曲线过点(，4)，故＋＝1，解得λ1＝32，λ2＝0，经检验λ1＝32，λ2＝0都是分式方程的根，但λ＝0不符合题意，应舍去，所以λ＝32.故所求双曲线的方程为－＝1.答案：－＝1[临门一脚]1．先确定焦点是在x轴上还是在y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”；如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为－＝λ(λ≠0)，再根据条件...
