重组十二大题冲关——立体几何的综合问题测试时间：120分钟满分：150分解答题(本题共8小题，共150分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)1．[2016·河南九校联考](本小题满分15分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝2，BC＝4，PA＝2，点M在PD上．(1)求证：AB⊥PC；(2)若二面角M－AC－D的大小为45°，求BM与平面PAC所成角的正弦值．解(1)证明：取BC中点E，连接AE，则AD＝EC，AD∥EC，所以四边形AECD为平行四边形，故AE⊥BC，又AE＝BE＝EC＝2，所以∠ABC＝∠ACB＝45°，故AB⊥AC，又AB⊥PA，AC∩PA＝A，所以AB⊥平面PAC，(4分)故有AB⊥PC.(6分)(2)如图建立空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(2，－2，0)，C(2，2，0)，P(0,0,2)，D(0,2，0)．(7分)设PM＝λPD＝(0,2λ，－2λ)(0≤λ≤1)，易得M(0,2λ，2－2λ)，设平面AMC的一个法向量为n1＝(x，y，z)，则令y＝，得x＝－，z＝，即n1＝，(9分)又平面ACD的一个法向量为n2＝(0,0,1)，(10分)|cos〈n1，n2〉|＝＝＝cos45°，解得λ＝，(12分)即M(0，，1)，BM＝(－2，3，1)，而AB＝(2，－2，0)是平面PAC的一个法向量，(13分)设直线BM与平面PAC所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈BM，AB〉|＝＝.故直线BM与平面PAC所成的角的正弦值为.(15分)2．[2016·平顶山二调](本小题满分15分)在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE∶EB＝CF∶FA＝CP∶PB＝1∶2，如图1.将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1－EF－B成直二面角，连接A1B、A1P，如图2.(1)求证：A1E⊥平面BEP；(2)求二面角B－A1P－E的余弦值．解不妨设正三角形ABC的边长为3.(1)证明：在图1中，取BE的中点D，连接DF. AE∶EB＝CF∶FA＝1∶2，∴AF＝AD＝2，而∠A＝60°，∴△ADF是正三角形．又AE＝DE＝1，∴EF⊥AD.在图2中，A1E⊥EF，BE⊥EF，∴∠A1EB为二面角A1－EF－B的平面角．(4分)由题设条件知此二面角为直二面角，∴A1E⊥BE.又BE∩EF＝E，∴A1E⊥平面BEF，即A1E⊥平面BEP.(6分)(2)建立分别以EB、EF、EA1所在直线为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，则E(0,0,0)，A1(0,0,1)，B(2,0,0)，F(0，，0)，P(1，，0)，则A1E＝(0,0，－1)，A1B＝(2,0，－1)，BP＝(－1，，0)，PE＝(－1，－，0)．(8分)设平面A1BP的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，由n1⊥平面A1BP知，n1⊥A1B，n1⊥BP，即令x1＝，得y1＝1，z1＝2，n1＝(，1,2)．(10分)设平面A1PE的法向量为n2＝(x2，y2，z2)．由n2⊥平面A1PE知，n2⊥A1E，n2⊥PE，即可得n2＝(，－1,0)．(12分)cos〈n1，n2〉＝＝＝，(14分)所以二面角B－A1P－E的余弦值是.(15分)3．[2017·山西联考](本小题满分20分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面ABB1A1是矩形，∠BAC＝90°，AA1⊥BC，AA1＝AC＝2AB＝4，且BC1⊥A1C.(1)求证：平面ABC1⊥平面A1ACC1；(2)设D是A1C1的中点，判断并证明在线段BB1上是否存在点E，使得DE∥平面ABC1.若存在，求二面角E－AC1－B的余弦值．解(1)证明：在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面ABB1A1是矩形，∴AA1⊥AB，又AA1⊥BC，AB∩BC＝B，∴A1A⊥平面ABC，∴A1A⊥AC.又A1A＝AC，∴A1C⊥AC1.又BC1⊥A1C，BC1∩AC1＝C1，(3分)∴A1C⊥平面ABC1，又A1C⊂平面A1ACC1，∴平面ABC1⊥平面A1ACC1.(7分)(2)解法一：当E为B1B的中点时，连接AE，EC1，DE，如图1，取A1A的中点F，连接EF，FD， EF∥AB，DF∥AC1，又EF∩DF＝F，AB∩AC1＝A，∴平面EFD∥平面ABC1，则有DE∥平面ABC1.(12分)以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为AA1＝AC＝2AB＝4，∴A(0,0,0)，B(2,0,0)，C1(0,4,4)，C(0,4,0)，E(2,0,2)，A1(0,0,4)，由(1)知，A1C＝(0,4，－4)是平面ABC1的一个法向量．设n＝(x，y，z)为平面AC1E的法向量， AC1＝(0,4,4)，AE＝(2,0,2)，∴即令z＝1，则x＝－1，y＝－1，∴n＝(－1，－1,1)为平面AC1E的一个法向量．(16分)设A1C与n的夹角为θ，则cosθ＝＝－，由图知二面角E－AC1－B为锐角，∴二面角E－AC1－B的余弦值为.(20分)解法二：当E为BB1的中点时，连接DE，如图2，设A1C交AC1于点G，连接BG，DG， BE綊DG，∴四边形DEBG为平行四边形，则DE∥BG，又DE⊄...
