11-12学年高二数学：2.3数学归纳法课件（人教A版选修2-2）2．3数学归纳法理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的证题步骤．本节重点：数学归纳法的原理及步骤．本节难点：用数学归纳法证题的步骤、技巧．在应用数学归纳法的过程中：第①步，验证n＝n0时结论成立的n0不一定为1，根据题目要求，有时可为2、3等．第②步，证明n＝k＋1时命题也成立的过程中，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法．这两个步骤缺一不可，前一步是递推的基础，后一步是递推的依据，缺了哪一步得出的结论也是错误的．另外，归纳假设中要保证n从第一个数n0开始，即假设n＝k(k≥n0)时结论成立，括号内限制条件改为k>n0就错了．用数学归纳法证明中一个关键问题就是要抓住项数和项的增减变化，如证明恒等式和不等式中，n＝1时究竟有几项，从n＝k到n＝k＋1的过渡到底项有哪些变化，添了几项，减了几项．1．数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：①(归纳奠基)证明当n取时命题成立．②(归纳递推)假设．第一个值n0(n0∈N*)n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立2．应用数学归纳法时特别注意：(1)用数学归纳法证明的对象是与有关的命题．(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．正整数n[例1]证明：11×3＋13×5＋…＋1(2n－1)(2n＋1)＝n2n＋1.(n∈N*)[分析]第一步验证n取第一个正整数1时等式成立，第二步假定n＝k(k∈N*)时命题成立，即11×3＋13×5＋…＋1(2k－1)(2k＋1)＝k2k＋1成立，并以此作为条件来推证等式11×3＋13×5＋…＋1(2k－1)(2k＋1)＋1(2k＋1)(2k＋3)＝k＋12(k＋1)＋1成立．[证明](1)当n＝1时，左边＝11×3＝13，右边＝12×1＋1＝13，左边＝右边，所以等式成立．(2)假设n＝k(k≥1)时等式成立，即有11×3＋13×5＋…＋1(2k－1)(2k＋1)＝k2k＋1，则当n＝k＋1时，11×3＋13×5＋…＋1(2k－1)(2k＋1)＋1(2k＋1)(2k＋3)＝k2k＋1＋1(2k＋1)(2k＋3)＝k(2k＋3)＋1(2k＋1)(2k＋3)＝2k2＋3k＋1(2k＋1)(2k＋3)＝k＋12k＋3＝k＋12(k＋1)＋1.所以当n＝k＋1时，等式也成立．由(1)、(2)可知，对一切n∈N*等式都成立．[点评]证明过程的关键是第二步由n＝k到n＝k＋1的过渡，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n＝k＋1证明目标的表达式变形．n∈N*，求证：1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n.[证明](1)当n＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝11＋1＝12.左边＝右边．(2)假设n＝k时等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k，则当n＝k＋1时，1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＋12k＋1－12k＋2＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k＋12k＋1－12k＋2＝1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋1＋12k＋2.即当n＝k＋1时，等式也成立．综合(1)、(2)可知，对一切n∈N*，等式成立.[分析]按照数学归纳法的步骤证明，在由n＝k到n＝k＋1的推证过程中应用了放缩技巧，使问题简单化，这是利用数学归纳法证明不等式的常用技巧之一．[例2]用数学归纳法证明：1＋122＋132＋…＋1n2<2－1n(n≥2)．[证明]1°当n＝2时，1＋122＝54<2－12＝32，命题成立．2°假设n＝k时命题成立，即1＋122＋132＋…＋1k2<2－1k当n＝k＋1时，1＋122＋132＋…＋1k2＋1(k＋1)2<2－1k＋1(k＋1)2<2－1k＋1k(k＋1)＝2－1k＋1k－1k＋1＝2－1k＋1命题成立．由1°、2°知原不等式在n≥2时均成立．[点评]用数学归纳法证明不等式时常常要用到放缩法，即在归纳假设的基础上，通过放大或缩小技巧变换出要证明的目标不等式．本例中用1(k＋1)2<1k(k＋1)放缩是关键一步，有时也常用1k2>1k(k＋1)放缩．求证：1＋n2≤1＋12＋13＋…＋12n≤12＋n(n∈N*)．[证明]设f(n)＝1＋12＋13＋…＋12n.(1)当n＝1时，f(1)＝1＋12，原不等式成立．(2)设n＝k(k∈N*)时，原不等式成立．即1＋k2≤1＋12＋13＋…＋12k≤12＋k成立当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)＋12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋1≥1＋k2＋12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋1>1＋k2＋12k＋1＋12k＋1＋…＋12k＋1＝1＋k2＋12＝1＋k＋12f(k＋1)＝f(k)＋12k＋1...
