思维体操 .每日一题第 26 题（ 2015、12、 2） （2012.新课标 . 理.11 改编）已知三棱锥 SABC 的所有顶点都在球O 的球面上 ,ABC 是边长为 2 的正三角形 , SC为球 O 的直径 , 且4SC, 则此棱锥的体积为( ) (A) 4 33(B) 4 23(C) 8 23（D） 4 2一．题目解法解法一：连接,OA OB ，易得棱锥 OABC 是边长为 2 的正四棱锥点 O在面 ABC 上的摄影是正ABC 的中心1O在1Rt OO C 中，1232 32323O C2OC，22112 63OOOCO C所以三棱锥的高14 623hOO21134 642233433ABCVSh选 B (莆田二中周顺华惠安高级中学张清强提供 ) 解法二：设1O 为ABC的中心，连接1O C 交球面于 H ，连接 SH ，则易证HCSH，又BCHB，SBBC所以 BC平面 SHB,SHBC,HCBCHSH平面 ABC又6ACH，可得364,334SHHC故3243644433131SHSVABC选 B （三明二中范训库提供）OO1BCHASOACBSO1解法三：由已知，2ABBCCAOCOAOB，得正四面体OABC. 取 AB 中点 M ，连接 OM ，MC ，得,,OMAB CMAB OMCMMABSMC平面易得12222 22OMCSMCSS所以，114 2222333S ABCSMCVSAB答案选 B. （泉州七中林志敏提供）解法四，如图，21360°DOCBSAH过 A 作 AHSC 于 H ，连结 BH ，取 AB 的中点 D ，连结 DH ，SCASCBAHBH ，122ABHSAB DH，所以，14 233S ABCABHVSSC．(惠安一中杨炎斌提供 ) 解法五：（秒杀法）因为21134 3243343ABCVSSC，排除选项,,A C D ，选B . 22222233MOACBS二．题目考点背景及高考链接与球有关的切、接问题福建省南安市第一中学高三备课组1．球的表面积公式：S＝ 4πR2；球的体积公式V＝43πR32．与球有关的切、接问题中常见的组合：(1)正四面体与球：如图，设正四面体的棱长为a，内切球的半径为r，外接球的半径为R，取 AB 的中点为 D，连接 CD ，SE为正四面体的高，在截面三角形SDC 内作一个与边SD 和 DC 相切，圆心在高SE 上的圆．因为正四面体本身的对称性，内切球和外接球的球心同为O.此时， CO＝ OS＝R，OE＝r，SE＝23a，CE＝33 a，则有 R＋r＝23a，R2－r2＝ |CE|2＝a23 ，解得 R＝64 a，r＝612 a.(2)正方体与球：①正方体的内切球：截面图为正方形EFHG 的内切圆，如图所示．设正方体的棱长为a，则 |OJ|＝r＝a2(r 为内切球半径 )．②与正方体各棱相切的球：截面图为正方形EFHG 的外接圆，则|GO|＝R＝22 a. ③正方体的外接球：截面图为正方形ACC1A1 的外接圆，则 |A1O|＝R...
