精品文档精品文档2-16 设有任意形状的等厚度薄板，体力可以不计，在全部边界上(包括孔口边界上)受有均匀压力 q 试证qyx及0xy能满足平衡微分方程、相容方程和应力边界条件，也能满足位移单值条件，因而就是正确的解答。证明： （ 1）将应力分量qyx，0xy和0yxff分别代入平衡微分方程、相容方程00yxxyyyxyyxxxff（a）0)1())((2222）（yfxfyxyxyx（ b）显然（ a）、（b）是满足的（2）对于微小的三角板dydxA,,都为正值，斜边上的方向余弦),cos(xnl,),cos(ynm,将qyx，0xy代入平面问题的应力边界条件的表达式)()()()(sflmsfmlysxyyxsyxx（ c）则有),cos(),cos(xnqxnx),cos(),cos(ynqyny所以qx，qy。对于单连体，上述条件就是确定应力的全部条件。（3）对于多连体，应校核位移单值条件是否满足。该题为平面应力的情况，首先，将应力分量qyx及0xy代入物理方程，得形精品文档精品文档变分量qEx)1(，qEy)1(，0xy（d）然后，将（ d）的变形分量代入几何方程，得qExu)1(，qEyv)1(，0yuxv（e）前而式的积分得到)()1(1 yfqxEu，)()1(2 xfqyEv（f）其中的1f 和2f 分别是 y 和 x 的待定函数，可以通过几何方程的第三式求出，将式（f）代入（ e）的第三式得dxxdfdyydf)()(21等式左边只是y 的函数， 而等式右边只是x 的函数。因此，只可能两边都等于同一个常数ω ，于是有dyydf)(1，dxxdf)(2，积分以后得01)(uyyf，02)(vxxf代入（ f）得位移分量vxqyEvuyqxEu)1()1(0其中,,00 vu为表示刚体位移量的常数，须由约束条件求得。从式（ g）可见，位移是坐标的单值连续函数，满足位移单值条件，因而，应力分量是正确的解答。2-17 设有矩形截面的悬臂粱，在自由端受有集中荷载F ，体力可以不计。试根据材料力学公式，写出弯应力x 和切应力xy 的表达式，并取挤压应力0y，然后证明，这些表达式满足平衡微分方程和相容方程，再说明，这些表达式是否就表示正确的解答。解〔 1〕矩形悬臂梁发生弯曲变形，任意横截面上的弯矩方程为FxxM)(，横截 面 对z轴 （ 中 性 轴 ) 的 惯 性 矩 为123hI z， 根 据 材 料 力 学 公 式 ， 弯 应 力精品文档精品文档xyhFIyxMzx312)(；该截面上的剪力为FxF s)(，剪应力22223( )346()()24sxyFxyFhIyhhh；并取挤压应力0y（2）经验证，上述表达式能满足平衡微分方程00yxxyyyxyyxxxff也能满足相容方程0)1())((2222）（yfxfyxyxyx再考察边界条件：在2/hy的主要边界上，应精确满足应力边界条件...
