高考数学 考点突破——推理与证明：直接证明与间接证明学案-人教版高三全册数学学案

直接证明与间接证明【考点梳理】1．直接证明内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件思维过程由因导果执果索因框图表示→→…→→→…→书写格式因为…，所以…或由…，得…要证…，只需证…，即证…2．间接证明反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．【考点突破】考点一、综合法【例 1】在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sin Asin B＋sin Bsin C＋cos 2B＝1.(1)求证：a，b，c 成等差数列．(2)若 C＝，求证：5a＝3b.[解析] (1)由已知得 sin Asin B＋sin Bsin C＝2sin2B，因为 sin B≠0，所以 sin A＋sin C＝2sin B，由正弦定理，有 a＋c＝2b，即 a，b，c 成等差数列．(2)由 C＝，c＝2b－a 及余弦定理得(2b－a)2＝a2＋b2＋ab，即有 5ab－3b2＝0，所以 5a＝3b.【类题通法】掌握综合法证明问题的思路【对点训练】已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)证明：对任意的 n>1，都存在 m∈N*，使得 a1，an，am成等比数列．[解析] (1)由 Sn＝，得 a1＝S1＝1，当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝3n－2，当 n＝1 时也适合．所以数列{an}的通项公式为 an＝3n－2.(2)证明：要使得 a1，an，am成等比数列，只需要 a＝a1·am，即(3n－2)2＝1·(3m－2)，即 m＝3n2－4n＋2，而此时 m∈N*，且 m>n.所以对任意的 n>1，都存在 m∈N*，使得 a1，an，am成等比数列．考点二、分析法【例 2】已知 a>0，求证：－≥a＋－2.[解析] 要证－≥a＋－2，只需要证＋2≥a＋＋.因为 a>0，故只需要证 2≥2，即 a2＋＋4＋4≥a2＋2＋＋2＋2，从而只需要证 2≥，只需要证 4≥2，即 a2＋≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立.【类题通法】1．利用分析法证明问题的思路分析法的证明思路：先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证．2．分析法证明问题的适用范围当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是...