第 15 讲 函数与方程题型 1 函数零点个数的判断(对应学生用书第 50 页)■核心知识储备………………………………………………………………………·1．零点存在性定理如 果 函 数 y ＝ f(x) 在 区 间 [a ， b] 上 的 图 象 是 连 续 不 断 的 一 条 曲 线 ， 且 有f(a)·f(b)<0，那么，函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在 c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个 c 也就是方程 f(x)＝0 的根．2．函数的零点与方程根的关系函数 F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程 f(x)＝g(x)的根，即函数 y＝f(x)的图象与函数 y＝g(x)的图象交点的横坐标．■典题试解寻法………………………………………………………………………·【典题 1】 (考查数形结合法判断函数的零点个数)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足：①图象关于(1,0)点对称；② f(－1＋x)＝f(－1－x)；③当 x∈[－1,1]时，f(x)＝则函数y＝f(x)－在区间[－3,3]上的零点个数为( )A．5 B．6C．7D．8[思路分析] 函数 y＝f(x)－在区间[－3,3]上的零点个数――――→函数 y＝f(x)与函数 y＝在[－3,3]上的图象交点个数―――――→下结论．[解析] 因为 f(－1＋x)＝f(－1－x)，所以函数 f(x)的图象关于直线 x＝－1 对称，又函数 f(x)的图象关于点(1,0)对称，如图，画出f(x)以及 g(x)＝在[－3,3]上的图象．由图可知，两函数图象的交点个数为 5，所以函数 y＝f(x)－在区间[－3,3]上的零点个数为 5，故选 A.[答案] A【典题 2】 (考查应用零点存在性定理判断函数的零点个数)已知函数 fn(x)＝xln x－(n∈N*，e＝2.718 28…为自然对数的底数)．(1)求曲线 y＝f1(x)在点(1，f1(1))处的切线方程；(2)讨论函数 fn(x)的零点个数. 【导学号：07804105】[解] (1)因为 f1(x)＝xln x－x2，所以 f1′(x)＝ln x＋1－2x，所以 f1′(1)＝1－2＝－1.又 f1(1)＝－1，所以曲线 y＝f1(x)在点(1，f1(1))处的切线方程为 y＋1＝－(x－1)，即 y＝－x.(2)令 fn(x)＝0，得 xln x－＝0(n∈N*，x>0)，所以 nln x－x＝0.令 g(x)＝nln x－x，则函数 fn(x)的零点与函数 g(x)＝nln x－x 的零点相同．因为 g′(x)＝－1＝，令 g′(x)＝0，得 x＝n，所以当 x>n 时，g′(x)<0；当 00，所以函数 g(x)在区间(0，n]上单调递增，在区间[n，＋∞)上单调递减．所以函数 g(x)在 x＝n 处有最大值，且 g(n)＝nln n－n.① 当 n＝1 ...
