第 4 讲 导数与函数的单调性、极值、最值问题高考定位 利用导数研究函数的性质，以含指数函数、对数函数、三次有理函数为载体，研究函数的单调性、极值、最值，并能解决简单的问题.真 题 感 悟 1.(2017·全国Ⅱ卷)若 x＝－2 是函数 f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1的极值点，则 f(x)的极小值为( )A.－1 B.－2e－3 C.5e－3 D.1解析 f′(x)＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]·ex－1，则 f′(－2)＝[4－2(a＋2)＋a－1]·e－3＝0⇒a＝－1，则 f(x)＝(x2－x－1)·ex－1，f′(x)＝(x2＋x－2)·ex－1，令 f′(x)＝0，得 x＝－2 或 x＝1，当 x<－2 或 x>1 时，f′(x)>0，当－20.故 f(x)在上单调递减，在区间上单调递增.(2)① 当 a＝0 时，f(x)＝e2x≥0 恒成立.② 若 a<0，则由(1)得，当 x＝ln 时，f(x)取得最小值，最小值为 f＝a2，故当且仅当 a2≥0，即 a≥－2e 时，f(x)≥0.综上，a 的取值范围是[－2e，0].考 点 整 合1.导数的几何意义函数 f(x) 在 x0处的导数是曲线 f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线 f(x)在点 P 处的切线的斜率 k＝f′(x0)，相应的切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).易错提醒 求曲线的切线方程时，要注意是在点 P 处的切线还是过点 P 的切线，前者点 P 为切点，后者点 P 不一定为切点.2.四个易误导数公式(1)(sin x)′＝cos x；(2)(cos x)′＝－sin x；(3)(ax)′＝axln a(a>0，且 a≠1)；(4)(logax)′＝(a>0，且 a≠1，x>0).3.利用导数研究函数的单调性(1)导数与函数单调性的关系.①f′(x)>0 是 f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数 f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但 f′(x)≥0.②f′(x)≥0 是 f(x)为增函数...
