第二课时 定点、定值、探索性问题考点一 定点问题【例 1】 (2020·兰州一模)设 M 点为圆 C：x2＋y2＝4 上的动点，点 M 在 x 轴上的投影为 N.动点 P 满足 2PN＝MN，动点 P 的轨迹为 E.(1)求 E 的方程；(2)设 E 的左顶点为 D，若直线 l：y＝kx＋m 与曲线 E 交于 A，B 两点(A，B 不是左、右顶点)且满足|DA＋DB|＝|DA－DB|，求证：直线 l 恒过定点，并求出该定点的坐标.解 (1)设点 M(x0，y0)，P(x，y)，由题意可知 N(x0，0)， 2PN＝MN，∴2(x0－x，－y)＝(0，－y0)，即 x0＝x，y0＝y，又点 M 在圆 C：x2＋y2＝4 上，∴x＋y＝4，将 x0＝x，y0＝y 代入得＋＝1，即轨迹 E 的方程为＋＝1.(2)由(1)可知 D(－2，0)，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0，Δ＝(8mk)2－4(3＋4k2)(4m2－12)＝16(12k2－3m2＋9)＞0，即 3＋4k2－m2＞0，∴x1＋x2＝，x1x2＝.y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝. |DA＋DB|＝|DA－DB|，∴DA⊥DB，即DA·DB＝0，即(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2＝0，∴＋2×＋4＋＝0，∴7m2－16mk＋4k2＝0，解得 m1＝2k，m2＝k，且均满足 3＋4k2－m＞0.当 m＝2k 时，l 的方程为 y＝kx＋2k＝k(x＋2)，直线恒过点(－2，0)，与已知矛盾；当 m＝k 时，l 的方程为 y＝kx＋k＝k，直线恒过点.∴直线 l 过定点，定点坐标为.规律方法 圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.(2)特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.【训练 1】 (2020·湖南三湘名校联考)已知椭圆 C：＋＝1(a＞b≥1)的离心率为，其上焦点到直线 bx＋2ay－＝0 的距离为.(1)求椭圆 C 的方程；(2)过点 P 的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点.试探究以线段 AB 为直径的圆是否过定点.若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由.解 (1)由题意得，e＝＝，又 a2＝b2＋c2，所以 a＝b，c＝b.又＝，a＞b≥1，所以 b＝1，a2＝2，故椭圆 C 的方程为＋x2＝1.(2)当 AB⊥x 轴时，以线段 AB 为直径的圆的方程为＋y2＝.当 AB⊥y 轴时，以线段 AB 为直径的圆的方程为 x2＋y2＝1.可得两圆交点为 Q(－1，0).由此可知， 若以线段 AB 为直径的圆恒过定点，则该定点为 Q(－1，0).下证 Q(－1，0)符合题意.设直线...
