函数的奇偶性与周期性一、选择题1.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的函数是(B)(A)y=-(B)y=e|x|(C)y=-x2+3(D)y=cosx解析:y=-是奇函数,选项A错误;y=e|x|是偶函数且在(0,+∞)上单调递增,选项B正确;y=-x2+3是偶函数且在(0,+∞)上单调递减,选项C错误;y=cosx是偶函数且在(0,+∞)上有时递增,有时递减,选项D错误.故选B.2.设f(x)是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=2x(1-x),则f等于(A)(A)-(B)-(C)(D)解析:由题意得f=-f=-f=-f=-2××=-.故选A.3.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且在[0,1)上单调递增,记a=f(),b=f(2),c=f(3),则a,b,c的大小关系为(A)(A)a>b=c(B)b>a=c(C)b>c>a(D)a>c>b解析:依题意得f(x+2)=-f(x+1)=f(x),即函数f(x)是以2为周期的函数,f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1);又f(3)=-f(2)=0,f(1)=-f(0)=0,又f(x)在[0,1)上是增函数,于是有f()>f(0)=f(2)=f(3),即a>b=c.故选A.4.(2013长春调研)设f(x)是定义在R上的增函数,且对于任意的x都有f(-x)+f(x)=0恒成立.如果实数m、n满足不等式f(m2-6m+21)+f(n2-8n)<0,那么m2+n2的取值范围是(A)(A)(9,49)(B)(13,49)(C)(9,25)(D)(3,7)解析:依题意得f(-x)=-f(x),因此由f(m2-6m+21)+f(n2-8n)<0得f(m2-6m+21)<-f(n2-8n)=f(-n2+8n).又f(x)是定义在R上的增函数,于是有m2-6m+21<-n2+8n,即(m-3)2+(n-4)2<4.在坐标平面mOn内该不等式表示的是以点(3,4)为圆心、2为半径的圆内的点,m2+n2可视为该平面区域内的点(m,n)与原点间的距离的平方,结合图形可知m2+n2的取值范围是(9,49),选A.5.(2013安徽省皖北高三大联考)已知周期为2的偶函数f(x)在区间[0,1]上是增函数,则f(-6.5),f(-1),f(0)的大小关系是(B)(A)f(-6.5)0,log2(-1)-log2(-1)>0,得f(x1)-f(x2)>0,即f(x)在(0,1)内单调递减;由于f(x)是奇函数,其图象关于原点对称,所以函数f(x)在(-1,0)内单调递减.11.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且它的图象关于直线x=1对称.(1)求证:f(x)是周期为4的周期函数;(2)若f(x)=(0
