第二关 以解析几何中与椭圆相关的综合问题为解答题-(解析版) VIP免费

1压轴解答题第二关以解析几何中与椭圆相关的综合问题【名师综述】纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，且椭圆考查的最多，，同时可能与平面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两个问，第（1）问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第（2）问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系．类型一中点问题典例1已知椭圆2222:10xyCabab的离心率13e，焦距为2．(1)求椭圆C的方程；(2)过点0,2Q作斜率为0kk的直线l与椭圆C交于A、B两点，若x轴上的一点E满足AEBE，试求出点E的横坐标的取值范围．【来源】河南省温县第一高级中学2021-2022学年高三上学期1月月考文科数学试题【答案】(1)22198xy；(2)22,00,1212.【解析】（1）由已知可求得a、c的值，可求得b的值，由此可得出椭圆C的标准方程；（2）设点设11,Axy、22,Bxy，将直线l的方程与椭圆C的方程联立，列出韦达定理，求出线段AB的中点G的坐标，由题意可知EGAB，可得1EGkk，可得出m关于k的表达式，分0k、0k两种情况讨论，结合基本不等式可求得m的取值范围.(1)解：由已知得1322cac，所以，1c，3a，2228bac，因此，椭圆C的方程为22198xy.(2)解：根据题意可知直线l的方程为2ykx，设11,Axy、22,Bxy，线段AB的中点为00,Gxy，设点,0Em，使得AEBE，则EGAB．2联立222198ykxxy得228936360kxkx，22223614498288940kkk，由韦达定理可得1223698kxxk，所以，021898kxk，00216298ykxk，因为EGAB，所以，1EGkk，即221601981898kkkmk，则2228989kmkkk，当0k时，89298122kk，当且仅当223k时，等号成立，此时2012m；当0k时，8889929122kkkkkk，当且仅当223k时，等号成立，此时2012m．综上所述，点E的横坐标的取值范围为22,00,1212.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.【举一反三】已知椭圆C：222210yxabab的焦距与椭圆2213xy的焦距相等，且C经过抛物线212yx的顶点．（1）求C的方程；（2）若直线ykxm与C相交于A，B两点，且A，B关于直线l：10xty对称，O为C的对称3中心，且AOB的面积为103，求k的值．【答案】（1）22142yx；（2）3k．【解析】（1）由题意：212yx的顶点为1,2，焦距为22故22222112abab，解得：24a，22b，所以C的方程为：22142yx；（2）因为直线ykxm与C相交于A，B两点，且A，B关于直线l：10xty对称，故直线l垂直AB，所以kt，联立22142ykxmyx可得2222240kxkmxm，设11,Axy，22,Bxy，AB的中点为00,Pxy，则228240km，022kmxk，00222mykxmk，因为00,Pxy在直线l：10xky上，所以2221022kmkmkk，即2mkk，所以22480kk，即：22k，2222222212122kkABkkkk，O到直线AB的距离2222211mkdkkk，222411023...