76不等式选讲(一)绝对值不等式导学目标：1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|，(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.自主梳理1．含________________的不等式叫做绝对值不等式．2．解含有绝对值的不等式的方法关键是去掉绝对值符号，基本方法有如下几种：(1)分段讨论：根据|f(x)|＝去掉绝对值符号．(2)利用等价不等式：|f(x)|≤g(x)⇔－g(x)≤f(x)≤g(x)；|f(x)|≥g(x)⇔f(x)≤－g(x)或f(x)≥g(x)．(3)两端同时平方：即运用移项法则，使不等式两边都变为非负数，再平方，从而去掉绝对值符号．3．形如|x－a|＋|x－b|≥c(a≠b)与|x－a|＋|x－b|≤c(a≠b)的绝对值不等式的解法主要有三种：(1)运用绝对值的几何意义；(2)____________________；(3)构造分段函数，结合函数图象求解．4．(1)定理：如果a，b，c是实数，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当____________时，等号成立．(2)重要绝对值不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.使用时(特别是求最值时)要注意等号成立的条件，即|a＋b|＝|a|＋|b|⇔ab≥0；|a－b|＝|a|＋|b|⇔ab≤0；|a|－|b|＝|a＋b|⇔b(a＋b)≤0；|a|－|b|＝|a－b|⇔b(a－b)≥0；注：|a|－|b|＝|a＋b|⇔|a|＝|a＋b|＋|b|⇔|(a＋b)－b|＝|a＋b|＋|b|⇔b(a＋b)≤0.同理可得|a|－|b|＝|a－b|⇔b(a－b)≥0.自我检测1．(2010·江西)不等式＞的解集是()A．(0,2)B．(∞－，0)C．(2∞，＋)D．(∞－，0)∪(0∞，＋)2．(2011·天津)已知集合A＝{x∈R||x＋3|＋|x－4|≤9}，B＝{x∈R|x＝4t＋－6，t∈(0∞，＋)}，则集合A∩B＝________.3．(2011·潍坊模拟)已知不等式|x＋2|＋|x－3|≤a的解集不是空集，则实数a的取值范围是()A．a<5B．a≤5C．a>5D．a≥54．若不等式|x＋1|＋|x－2|
7＋x；(3)|x－1|＋|2x＋1|<2.变式迁移1(2011·江苏)解不等式x＋|2x－1|<3.探究点二绝对值不等式的恒成立问题例2(2011·商丘模拟)已知不等式|x＋2|－|x＋3|>m.(1)若不等式有解；(2)若不等式解集为R；(3)若不等式解集为∅.分别求出实数m的取值范围．变式迁移2设函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|，若f(x)>a对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．探究点三绝对值三角不等式定理的应用例3“|x－A|<，且|y－A|<”“是|x－y|<ε”(x，y，A，ε∈R)的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件变式迁移3(1)求函数y＝|x＋2|－|x－2|的最大值；(2)求函数y＝|x－3|＋|x＋2|的最小值．转化与化归思想的应用例(10分)设a∈R，函数f(x)＝ax2＋x－a(－1≤x≤1)，(1)若|a|≤1，求证：|f(x)|≤；(2)求a的值，使函数f(x)有最大值.多角度审题第(1)问|f(x)|≤⇔≤－f(x)≤，因此证明方法有两种，一是利用放缩法直接证出|f(x)|≤≤；二是证明－f(x)≤亦可．第(2)问实质上是已知f(x)的最大值为，求a的值．由于x∈[－1,1]，f(x)是关于x的二次函数，那么就需判断对称轴对应的x值在不在区间[－1,1]上．【答题模板】证明(1)方法一 －1≤x≤1，∴|x|≤1.又 |a|≤1，∴|f(x)|＝|a(x2－1)＋x|≤|a(x2－1)|＋|x|≤|x2－1|＋|x|＝1－|x|2＋|x|＝－2≤＋.[3分]∴若|a|≤1，则|f(x)|≤.[5分]方法二设g(a)＝f(x)＝ax2＋x－a＝(x2－1)a＋x. －1≤x≤1，∴当x＝±1，即x2－1＝0时，|f(x)|＝|g(a)|＝1≤；[1分]当－1
