高三数学(理)轨迹,圆锥曲线综合人教实验版(A)【本讲教育信息】一.教学内容:轨迹,圆锥曲线综合二.重点、难点:轨迹的求法1.直接法2.几何法3.转移法4.参数法【典型例题】[例1]A(-2,0),B(2,0),动点M满足∠MBA=2∠MAB,求M的轨迹。解:设M(x,y)(1)M在线段AB上,∠MBA=2∠MAB=0成立(2)M不在线段AB上,∠MBA>∠MAB∴图形在y轴右侧不妨设M在x轴上方①∠MBA90°2tanxyMAB2tanxyMBAMABMBA2tantan2)2(1222xyxyxy∴044322xyx*②∠MBA=90°时,M(2,4)满足*式∴轨迹为0y(22x)或044322xyx(0x)[例2]圆M:9)1(22yx,A(1,0),Q在M上,线段AQ的垂直平分线交半径MQ于P,求P点轨迹。解:如图,l为AQ的垂直平分线∴PAPQ用心爱心专心∴3rPMPQPMPA∴32a23a1c∴222cab45∴轨迹为椭圆:1454922yx[例3]椭圆M:12222byax,A1、A2分别是椭圆的左、右顶点,P为M上任一点,PA1⊥A1Q,PA2⊥A2Q,A1Q、A2Q的交点为Q,求Q点轨迹。解:设P(11,yx)Q(yx,)∴QAl1:)(11axyaxyQAl2:)(11axyaxy-用心爱心专心yabyxxybayxx22111221∴1)(222222byabax即:142222aybax[例4]过Q(-2,0)作直线l,交椭圆1222yx于A、B,以OA、OB为邻边作平行四边形OAPB,求P点轨迹。解:设P(x,y)设直线l:)0)(2(kxky12)2(22yxxky∴0)28(8)21(2222kxkxk0)28)(21(464224kkk∴)22,0()0,22(k设BABAyyyxxx00∴222214218kkykkxk为参数)22,0()0,22(k∴yxkkyx22代入∴124)2(22yx02x半个椭圆用心爱心专心[例5]已知抛物线022ppxy,过动点M(0,a)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B,且pAB2。(1)求a的取值范围;(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N,求△NAB面积的最大值。解:(1)设直线l的方法为:axy,代入抛物线方程得pxax22即0222axpax∴papaAB244222∴2224ppap,即24pap又 0p∴42pap(2)设2211,,,yxByxA,AB的中点C(x,y)由(1)知,axy11,22yxa,1222xxap则有paxxyyypaxxx222,2212121∴线段AB的垂直平分线的方程为paxpy从而N点坐标为0,2pa点N到AB的距离为papa222从而22222244221papppapaSNAB当a有最大值4p时,S有最大值为22p[例6]已知中心在原点,顶点A1、A2在x轴上,离心率321e的双曲线过点P(6,6)。(1)求双曲线方程;(2)动直线l经过△A1PA2的重心G,与双曲线交于不同的两点M、N,问:是否存在直线l,使G平分线段MN,证明你的结论。用心爱心专心解:(1)如图,设双曲线方程为12222byax由已知得921,16622222222abaeba,解得12,922ba所以所求双曲线方程为112922yx(2)P、A1、A2的坐标依次为(6,6)、(3,0)、(-3,0)∴其重心G的坐标为(2,2)假设存在直线l,使G(2,2)平分线段MN,设M(11,yx),N(22,yx)则有34912108912108912,442121222221212121xxyyyxyxyyxx,∴34lk∴l的方程为2234xy由23410891222xyyx,消去y,整理得02842xx 028416∴所求直线l不存在[例7]已知双曲线C的两条渐近线都过原点,且都以点0,2A为圆心,l为半径的圆相切,双曲线的一个顶点A1与A点关于直线xy对称。(1)求双曲线C的方程;(2)设直线l过点A,斜率为k,当10k时,双曲线C的上支上有且仅有一点B到直线l的距离为2,试求k的值及此时B点的坐标。解:(1)设双曲线的渐近线为kxy,由122kkd=1,解得1k用心爱心专心即渐近线为xy,又点A关于y=x对称点的坐标为(0,2)∴ba2,所求双曲线C的方程为12222xy(2)设直线102:kxkyl依题意B点在平行...