函数值域的若干求法函数是中学数学的重要的基本概念之一，它与代数式、方程、不等式、三角函数、微积分等内容有着密切的联系，应用十分广泛。函数的基础性强、概念多，其中函数的定义域、值域、奇偶性等是难点之一，是高考的常见的题型。下面就函数的值域的求法，举例说如下。一、直接法(观察法)通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域例1求函数的值域。点拨：根据算术平方根的性质，先求出的值域。解：由算术平方根的性质，知≥0，故≥3。∴函数的知域为.点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。练习1：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）练习2：求函数的值域。（答案：值域为：）二、反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。例2求函数的值域。点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。解：显然函数的反函数为:,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。练习：求函数的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）三、配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方用心爱心专心法求函数值域例3：求函数的值域。点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。解：由,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时∴,函数的值域是点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。练习：求函数的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})四、判别式法若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。例3求函数的值域。点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。解：将上式化为（﹡）当y≠2时,由，解得：当y=2时,方程（﹡)无解。∴函数的值域为：。点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负实数，可求得函数的值域。常适应于形如：及的函数。练习：求函数的值域。（答案：值域为：）。五、中间变量法若函数只含项或只含项，可借助（有界性）解决用心爱心专心例4：求函数的值域。解：由得，有由得，解得，函数值域为：练习：求的值域，答案:六、最值法对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。例5已知,且满足,求函数的值域。点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。解： ，上述分式不等式与不等式同解，解之得，又，将代入中，得∴且,函数在区间上连续，故只需比较边界的大小。当时，；当时，。∴函数的值域为:。点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值域。练习：若为实数，则函数的值域为（D）A．（－∞，＋∞）B．[－7，＋∞]C．[0，＋∞）D．[－5，＋∞）七、图象法通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。例6求函数的值域。点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。用心爱心专心解：原函数化为它的图象如图所示。显然函数值y≥3,所以，函数值域[3，＋∞]。点评：分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象求函数的值域，体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。求函数值域的方法较多，还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域。八、单调性法利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。例1求函数的值域。点拨：由已知的函数是复合函数，即，其定义域为，在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。解：设,,易知它们在定义域内为增函数，从而在定义域为上也为增函数，而且,因此，所求的函...
