第九章第四节空间角题组一异面直线所成的角1.(2009·全国卷Ⅱ)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为()A.B.C.D.解析：连结A1B，则有A1B∥CD1，∴∠A1BE就是异面直线BE与CD1所成角，设AB＝1，则A1E＝AE＝1，∴BE＝，A1B＝.由余弦定理可知：cosA1BE＝＝.答案：C2．(2009·全国卷Ⅰ)已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为()A.B.C.D.解析：如图，D为BC的中点，则由题意得∠A1AD＝∠BAD＝30°，由三余弦公式有cosA1AB＝cosA1AD·cosBAD，解得cosA1AB＝，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为.答案：D3．如图，若正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的大小是________(结果用反三角函数值表示)．解析：连结D1C. AD∥BC，∴∠D1BC即为异面直线BD1与AD所成的角．在Rt△BCD1中，BC＝2，CD1＝2，∴tanD1BC＝＝，∴∠D1BC＝arctan.答案：arctan4．如图，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．1解析：设棱长为a，补正三棱柱ABC－A2B2C2(如图)．平移AB1至A2B，连结A2M，∠MBA2即为AB1与BM所成角，在△A2BM中，A2B＝a，BM＝＝a，A2M＝＝a，∴A2B2＋BM2＝A2M2.∴∠MBA2＝90°.答案：90°题组二直线和平面所成的角5.(2009·浙江高考)在三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：如图，取BC中点E，连结DE、AE、AD，依题意知三棱柱为正三棱柱，易得AE⊥平面BB1C1C，故∠ADE为AD与平面BB1C1C所成的角．设各棱长为1，则AE＝，DE＝，tanADE＝＝＝，∴∠ADE＝60°.答案：C6．如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，则下列命题中错误的是()A．点H是△A1BD的垂心B．AH垂直于平面CB1D1C．AH的延长线经过点C1D．直线AH和BB1所成角为45°解析：因为三棱锥A－A1BD是正三棱锥，故顶点A在底面的射影是底面的中心，A正确；平面A1BD∥平面CB1D1，而AH垂直于平面A1BD，所以AH垂直于平面CB1D1，B正确；根据对称性知C正确．答案：D题组三二面角7.已知一个正四棱锥的各棱长均相等，则其相邻两侧面所成的二面角的大小为()2A．arccosB．arcsin(－)C．arctan(－2)D．arccot(－)解析：如图，设正四棱锥S－ABCD的棱长为2，作BE⊥SC于E，连结DE，则∠BED即为所求．BE＝DE＝，BD＝2，由余弦定理得cosBED＝－，∠BED＝arccot(－)．答案：D8.如图，矩形ABCD中，DC＝，AD＝1，在DC上截取DE＝1，将△ADE沿AE翻折到D1点，点D1在平面ABC上的射影落在AC上时，二面角D1－AE－B的平面角的余弦值是________．解析：如图，D1O⊥平面AC，垂足为O且在AC上，OF⊥AE于F，连结D1F，则∠D1FO即为二面角D1－AE－B的平面角，在等腰Rt△AD1E中，求得D1F＝AF＝，∠CAD＝60°，∠EAD＝45°，∠OAF＝15°，OF＝AFtan15°，则cosD1FO＝tan15°＝2－，故填2－.答案：2－题组四空间角的综合应用9.(2010·昆明模拟)如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P、Q分别为AE、AB的中点．(1)证明：PQ∥平面ACD；(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值．解：(1)证明：因为P、Q分别为AE、AB的中点，所以PQ∥EB.又DC∥EB，因此PQ∥DC，PQ⊄平面ACD，从而PQ∥平面ACD.(2)如图，连结CQ、DP.因为Q为AB的中点，且AC＝BC，所以CQ⊥AB.因为DC⊥平面ABC，EB∥DC，所以EB⊥平面ABC，因此CQ⊥EB，又EB∩AB＝B，故CQ⊥平面ABE.由(1)有PQ∥DC，又PQ＝EB＝DC，所以四边形CQPD为平行四边形，故DP∥CQ，因此DP⊥平面ABE，∠DAP为AD和平面ABE所成的角．3∠CAB＝(180°－120°)＝30°，在Rt△DPA中，AD＝＝，DP＝2sin30°＝1，sinDAP＝.因此AD和平面ABE所成角的正弦值为.10．(2009·北京高考)如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC.(1)求证：BC⊥平面PAC；(2)当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的大小；(3)是否存在点E...
