2.3.1平面向量基本定理5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.已知AM是△ABC的BC边上的中线，若=a,=b，则等于()A.(a-b)B.(b-a)C.(a+b)D.(a+b)答案：C2.如果e1、e2是平面α内所有向量的一组基底，那么()A.若实数λ1、λ2使λ1e1+λ2e2=0，则λ1=λ2=0B.空间任一向量a可以表示为a=λ1e1+λ2e2，这里λ1、λ2是实数C.对实数λ1、λ2，λ1e1+λ2e2不一定在平面α内D.对平面α中的任一向量a，使a=λ1e1+λ2e2的实数λ1、λ2有无数对解析：平面α内任一向量都可写成e1与e2的线性组合形式，而不是空间内任一向量，故B不正确；C中的向量λ1e1+λ2e2一定在平面α内；而对平面α中的任一向量a，实数λ1、λ2是唯一的.答案：A3.如图2-3-1，D、E、F分别为△ABC的边BC、CA、AB上的中点，且=a，=b，给出下列命题：①=a-b;②=a+b;③=a+b;④=0.其中正确命题的序号为_______________________.图2-3-1解析：如图所示，=-b+=-ba,=a+b,=-b-a,+=b+(-b-a)=ba,=-ba+a+b+ba=0.所以应填①②③④.答案：①②③④4.如图2-3-2，ABCD的两条对角线相交于点M，且=a，=b，用a、b表示、、和.图2-3-2解：在ABCD中，∵=a+b,=a-b,∴=-AC=-(a+b)=-a-b,==(a-b)=a-b,==a+b,=-a+b.10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.向量,,的终点A,B,C在一条直线上，且=-3.设=p，=q,=r，则下列等式成立的是()A.r=p+qB.r=-p+2qC.r=pqD.r=-q+2p解析：由，得，即.∴=+，即r=p+q.答案：A2.设一直线上三点A,B,P满足=λ(λ≠1)，O是空间一点，则用,表示为()A.=+λB.=λ+(1-λ)C.=D.=+解析：由=λ(λ≠1),得=λ()，即=.答案：C3.已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不包括端点A,C)，则等于()A.λ(),λ∈(0,1)B.λ(),λ∈(0,)C.λ(),λ∈(0,1)D.λ(),λ∈(0,)解析：∵点P在对角线AC上，∴与共线.又,∴=λ().当P与A重合时,λ=0;当P与C重合时,λ=1.答案：A4.(2006高考安徽卷，理14)在ABCD中，=a，=b,,M为BC的中点，则=_________________(用a、b表示).解析：=+=+()=b+[-b+(-a)]=(b-a).答案：(b-a)5.如图2-3-3所示，四边形ABCD为矩形，且AD=2AB，又△ADE为等腰直角三角形，F为ED中点，=e1,=e2,以e1、e2为基底，表示向量、、及.图2-3-3解：∵=e1,=e2,∴=e2-e1.依题意有:AD=2AB=DE,且F为ED中点，∴四边形ABDF为平行四边形.∴=e2-e1,=e2.∴=e2-e1+e2=2e2-e1.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.在△ABC中，设=m,=n，D、E是边BC上的三等分点，则=_______________,=_____________________.解析：由D、E是边BC上的三等分点，可得=,BE=，转化为已知向量即可.答案：m+nm+n2.平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(-1,3)，若点C满足=α+β，其中，α、β∈R，且α+β=1，则点C的轨迹方程为________________________________.解析：将点C所满足的向量式条件转化为直角坐标的方程式即为点C的轨迹方程.答案：x+2y-5=03.如图2-3-4所示，在平行四边形ABCD中，M、N分别为DC、BC的中点，已知=c,=d,试用c,d表示和.图2-3-4解：设=a,=b,则由M、N分别为DC、BC的中点可得=b,=a.从△ABN和△ADM中可得解之，得即=(2d-c),=(2c-d).4.如图2-3-5所示，在△ABC中，M是边AB的中点，E是线段CM的中点，AE的延长线交BC于F，MH∥AF.求证：.图2-3-5证明：M为AB中点，MH∥AF，则=x.设=a，=b,=+x，=a+2x.又E为CM的中点，==.=,==.又=(a+2x)-().由,(a+2x)-()+()=b,+x+=b,3x=b-a,x=(b-a).=(b-a),而=(b-a)(b-a)=(b-a).∴.5.如图2-3-6所示的△OAB中，=a，=b，M、N分别是边、上的点，且=a，=b，设与相交于点P，用向量a、b表示.图2-3-6解：,.设,，则=a+m(ba)=(1-m)a+mb,=b+n(ab)=(1-n)b+na.∵a,b不共线，∴∴=a+b.6.如图2-3-7,已知平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD交于点E，O是任意一点.求证：.图2-3-7证明：∵E是对角线AC和BD的交点，∴,.在△OAE中，,同理，,,以上各式相加，得.7.证明三角形的三条中线交于一点.证明：如图，令=a,=b为基底，则=b-a,=a+b,=b-a.设AD与BE交于点G1，并设=λ,=μ,则有=a+b-b=a+b,=a-b-μa+b=(1-μ)a+b,∴解之，得λ=μ=.∴=.设AD与CF交于点G2，同理可得=.∴G1与G2重合，也就是说AD、BE、CF相交于同一点.∴三角形的三条中线交于一点.快乐时光感想A：听说你最近去美国考察了一次，感受不浅吧？B：是啊，感触太深了，人家的文化水平就是高.A：何以见得呢？B：人家大人小孩都会说英语.
