【创新教程】2016年高考数学大一轮复习第三章第6节正弦定理和余弦定理及应用课时冲关理新人教A版一、选择题1．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝()A．－B.C．－D.解析：由正弦定理得＝，∴sinB＝＝＝.∵a>b，A＝60°，∴B为锐角．∴cosB＝＝＝.答案：D2．(2015·德州市一模)ABC中内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a2－b2＝bc，sinC＝2sinB，则A＝()A.πB.πC.D.解析：由题意得，c＝2b，cosA＝＝＝，所以A＝.答案：D3．(2015·合肥模拟)在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为()A.B.C．2D．2解析：S＝×AB·ACsin60°＝×2×AC＝，所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos60°＝3，所以BC＝.答案：B4．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a＝2bcosC，则此三角形一定是()A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形解析：因为a＝2bcosC，所以由余弦定理得：a＝2b·，整理得b2＝c2，因此三角形一定是等腰三角形．答案：C5．在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则cosC的最小值为()A.B.C.D．－解析：由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcosC，又c2＝(a2＋b2)，得2abcosC＝(a2＋b2)，即cosC＝≥＝.所以选C.1答案：C6．如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，则cosθ等于()A.B.C.D.解析：如图所示，在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800，所以BC＝20.由正弦定理，得sin∠ACB＝·sin∠BAC＝.由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，故cos∠ACB＝.故cosθ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACBcos30°－sin∠ACBsin30°＝.答案：B二、填空题7．(2015·惠州模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2＋c2－b2)tanB＝ac，则角B的值为________．解析：由余弦定理，得＝cosB，结合已知等式得cosB·tanB＝，∴sinB＝，∴B＝或.答案：或8．在△ABC中，若AB＝，AC＝5，且cosC＝，则BC＝________.解析：设BC＝x，则由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC得5＝25＋x2－2·5·x·，即x2－9x＋20＝0，解得x＝4或x＝5.答案：4或59．(2014·四川高考)如图所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73)解析：AC＝92，BC＝·sinA＝·sin37°＝×0.60＝60(m)．答案：6010．(2015·广东重点中学联考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝，则的值为________．解析：由正弦定理＝＝得＝＝，即(cosA－3cosC)sinB＝(3sinC－sinA)·cosB，化简可得，sin(A＋B)＝3sin(B＋C)，又知A＋B＋C＝π，所以sinC＝3sinA，因此＝3.答案：32三、解答题11．(2014·山东高考)△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＝3，cosA＝，B＝A＋.(1)求b的值；(2)求△ABC的面积．解：(1)∵cosA＝，B＝A＋，∴A必为锐角，sinA＝，sinB＝cosA＝由正弦定理知：b＝＝＝3.(2)∵B＝A＋，∴B为锐角，cosB＝－∴sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝×＋×＝∴S△ABC＝absinC＝×3×3×＝.12．(2015·福建莆田质检)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边交单位圆于点A，且α∈.将角α的终边绕原点逆时针方向旋转，交单位圆于点B，过B作BC⊥y轴于点C.(1)若点A的纵坐标为，求点B的横坐标；(2)求△AOC的面积S的最大值．解：由定义得A(cosα，sinα)，B，依题意可知sinα＝，α∈，所以α＝，所以点B的横坐标为cos＝cos＝－.(2)解法1：因为|OA|＝1，|OC|＝sin，∠AOC＝－α，所以S＝|OA|·|OC|·sin∠AOC＝sin·sin＝cosα＝＝＝＋＝sin＋.又因为α∈，所以∈，当2α＋＝，即α＝时，sin取得最大值为，所以S的最大值为.解法2：因为|OC|＝sin，△AOC的OC边上的高为点A的横坐标为cosα，所以S＝|OC|·cosα＝·sincosα.(余下同解法1)[备课札记]3
