第六章约束优化方法工程实际优化问题绝大多数属于约束非线性规划问题，其一般数学表达式为：求解方法可分为：直接法和间接法。两类方法的特点见表1分类举例优点缺点应用场合直接法坐标轮换法随机方向搜索法复合形法算法简单、直观计算量大，收敛慢维数低，函数复杂，精度要求低的优化问题间接法简约梯度法惩罚函数法序列二次规划收敛快，整体计算量小公式较复杂大型优化问题6.1约束随机方向搜索法6.1.1基本原理在可行域内选一初始点X0，以一初始步长沿一随机方向S1，求得探索点X。S1应保证X在可行域内且使目标函数值下降，即新点应有可行性和下降性。改变步长，继续在S1方向上探索，得到S1方向上的最优点X1。以X1为初始点，在另一随机方向S2上重复上述过程，得到S2方向上的最优点X2。如此重复下去。当某一成功点X*沿着N（N=50~500）个随机方向的探索均失败时，以X*为最优解。6.1.2初始点的选取要求初始点可行点。当约束条件比较简单时，可人为确定；当约束条件复杂时，人为方法比较困难，可随机选取，即利用计算机产生的伪随机数来生成初始点。具体方法为：设设计变量的分量xi在取值范围为区间[ai,bi]，qi为区间（0，1）内的随机数，则xi的随机数为由此可得到X所有分量随机数，然后将X代入约束条件中检验，若满足所有约束条件，则X是可行点。否则应重新选取初始点。6.1.3随机搜索方向的产生以二维问题为例，说明随机搜索方向的产生方法。若y1、y2为区间[-1，1]上两个随机数，则向量[y1,y2]可为平面内的任意方向。取向量[y1,y2]的单位向量e则e的端点位于单位圆的圆周上。对于三维问题，单位向量e的端点位于以单位长度为半径的球面上。上式中要求y1、y2在区间[-1，1]内随机取值，若计算机只能产生[0,1]区间内的伪随机数ri，可用下式将其转换为[-1,1]区间的伪随机数：6.1.4举例例：用约束随机方向搜索法求解解：人工选取一初始点X0=[5，5]T，初始点在可行域内。相应的目标函数值为F(X0)=50。第一次迭代1)产生两个伪随机数，求出第一个随机方向。生成两个伪随机数r1=0.9,r2=0.2由此得第一个随机方向为：2)求第一个迭代点第一个迭代点表达式为：式中a为步长。将X1的表达式代入目标函数中，进行一维搜索，令目标函数对步长a的一阶导数为0，即可求出沿e1方向的最优步长。第一个迭代点为：3）检验X（1）点是否满足约束条件g(X(1))=2╳4.2+5.6=14>12，X（1）满足约束条件，是可行点。相应的目标函数值为:第二次迭代以X1为初始点，重新生成随机搜索方向e2。（以下过程略）6.2复合形法6.2.1复合形法的基本原理在n维空间的可行域中选取k个设计点（通常取n+1≤k≤2n）作为初始复合形的顶点，然后比较复合形各顶点目标函数值的大小，目标函数值最大的点为坏点，以坏点之外的点的中心为映射点为中心，求出坏点的映射点。一般映射点优于坏点，以映射点代替坏点，构成新的复形。如此循环，使复合形不断向最优点移动和收缩。当收缩到复合形的各个顶点与形心非常接近、满足迭代精度要求时为止。最后输出复合形顶点中目标函数值最小的顶点为近似最优点。如图二维约束优化问题，n=2,取4个顶点构成初始复合形，设这4个点中目标函数值最大的点为X1，记为XH，目标函数值最小的点为X3，记为XL。丢弃XH点，求另外3点的中心XC,连接XC和XH，在连线上确定出映射点XR。式中α为映射系数，一般α>1，通常取α=1.3。若XR在可行域内，且XR的目标函数值优于XH，则以XR替换XH形成新的复合形，重复上述过程。若XR不满足上述两个条件，则将映射系数α减半，α可以多次减半。若α变得很小仍不能使XR满足条件，可以次坏点代替坏点进行映射。在求映射点之前，若XC在可行域之外，则可行域可能是一个非凸集，这时可由XC与XL构成一个超立方体（二维情况下为长方形），在该区域内重新利用伪随机数产生k个顶点，构成新的复合形。6.2.2初始复合形法的产生对于维数较低的简单优化问题，可以人为给出初始复合形顶点。对于复杂优化问题，多采用随机方法产生初始复合形。过程如下：（1）利用随机函数，生成第一个顶点，确保该顶点在可行域内。（2）产生其他（k-1）个随机点若X2、X3、…、Xq都在可行域内，则它们可作为初始复合形的顶点...
