解析几何教学要突出坐标法思想VIP免费

解析几何教学要突出坐标法思想——“直线与圆的位置关系”教学实践与思考陶维林（江苏南京师大附中210003）南方某中学举办了一次“自主课堂，同课异构”大型教学研讨活动，邀请笔者上一堂课，指定教学内容是《普通高中课程标准实验教科书·数学（必修二）》（人教A版），“4.2.1直线与圆的位置关系”．以下介绍的是教学过程及若干思考，供同行参考．1创设情境，提出问题上课始，大屏幕显示“解析几何以曲线为它的研究对象，当然要研究曲线之间的位置关系．前面我们学习了直线间的位置关系，现在来研究直线与圆之间的位置关系．”几何画板现场演示：先画圆A，再画出的直线CD与圆相交（相离），并说明，这时直线CD与圆A显然是相交（相离）的．缓缓拖动点D，当直线CD与圆A似乎相切时（图1）停下，问：“这时直线与圆的位置关系是什么？”同学们的意见分歧很大．说相交的、相离的、相切的都有．分别举手表示自己的观点．经统计，说相切与相交的人占大多数．教师点击按钮亮出问题一．问题1如图1，直线CD与圆A相交？相切？相离？我们怎么说清楚这个问题呢？停了一会儿，有人说：“建立坐标系．”师：为什么？生：要量化，否则说不清楚．师：坐标系怎么建？生：任意画一点作为原点．师：大家认为任意画一点作为坐标原点恰当吗？有人喊：以圆心A为原点．师：单位长呢？数轴有三要素！生：以圆A的半径长为单位长．如图2，教师及时用几何画板的功能建立以圆A为单位圆的直角坐标系，并把标签A改为O．分别“度量”（软件功能）出直线与圆的方程．留下充足的时间，让同学们通过计算判断关系．2评价方法，分析特点教师巡视，发现以下两种方法都有．方法一计算圆心O到直线CD的距离d，判断d与半径r的关系．d＝＝1.02＞1（＝r）．因此，直线CD与圆O相离．师：除了用这种以“圆心到直线的距离d与半径r的关系来判断，1图1图2还有其他方法吗？”方法二把y＝0.3x－1.06代入x2＋y2＝1，得1.09x2－0.64x＋0.12＝0．Δ＝（－0.64）2－4×1.09×0.12＝－0.114＜0．因此，直线CD与圆O相离．组织交流．问：“你们的结论是什么？”生众：相离．师：凭什么这么说？生：Δ＜0．（采用方法二的学生答）师：Δ＜0又怎么样？生：方程没有实数根．方程组没有实数解，直线与圆没有公共点．师：直线与圆如果有公共点，其坐标是方程组的解．既然方程组没有实数解，那么，直线与圆就没有公共点．解释得很好．没想到吧！这正验证了我国已故著名数学家华罗庚说的话“形缺数时难入微”．仅凭借肉眼很难看得出它们是相离的！实际上，教师心里是有数的．因为线条比较粗，直线与圆相离的状态被遮盖了．师：我刚才看了同学们的做法，有的是利用圆心到直线的距离d与圆的半径r的关系判断的，为方便，我们把它叫做“d-r法”；有的是把直线的方程代入圆的方程消去y，通过关于x的一元二次方程根的判别式Δ来判断的，为方便，我们把它叫做“Δ法”．你们喜欢哪一种？喜欢“d-r法”的与喜欢“Δ法”都有，但说喜欢“d-r法”居多．师：这两种方法都可以判断直线与圆的位置关系，各有各的特点，各有各的优点．“d-r法”利用了初中学习过的圆与直线位置关系的结论，注重几何图形结构的分析与利用．解析几何的研究对象是几何图形，当然要加强图形几何结构的分析，要重视“形”的利用．用“Δ法”判断直线CD与圆O是否有公共点的特点是研究方程组是否有实数解．代数特征明显．而且“Δ法”更具一般化．比如判断直线y＝0.3x－1.06与方程x2＋2y2＝1表示的曲线是否有公共点也能够奏效，而“d-r法”就不好办了．23增强体验，训练思维大家对怎样研究直线与圆的关系已经有了一些经验，请看下面的例题．我请四位同学上黑板做．问题2已知直线l：x＋3y－6＝0和圆C：x2＋y2－2x－4＝0．（1）判断直线l与圆C的位置关系；（2）如果相交，求它们交点的坐标．这是教科书上的两个例题之一，但把题中直线、圆的方程中的x与y做了交换．没有画出图形．有意思的是，四个人解法各不相同．这就给利用来自学生的材料教育学生提供了便利．有一个学生先采用“d-r法”判断直线与圆是否有公共点，发现有公共点后再解方程组求出它们的交点坐标．评价时都觉得不划算，是没有...