【创新设计】-学年高中数学2.2.1双曲线的定义与标准方程活页训练湘教版选修1-11．若动点P到F1(－5，0)与P到F2(5，0)的距离的差为±8，则P点的轨迹方程是()．A.＋＝1B.－＝1C.＋＝1D.－＝1解析由双曲线定义知：2a＝8，∴a＝4，c＝5，∴b＝3.答案D2．若方程＋＝3表示焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围是()．A．1＜m＜2B．m＞2C．m＜－2D．－2＜m＜2解析由得m＜－2.答案C3．若双曲线2kx2－ky2＝1的一个焦点的坐标是(0，4)，则k的值为()．A.B.C．－D．－解析方程变为－＝1，由题意得－－＝16，k＝－.答案C4．平面内动点P到定点F1(－4，0)的距离比它到定点F2(4，0)的距离大6，则动点P的轨迹方程是______________．解析由|PF1|－|PF2|＝6<8＝|F1F2|知，P点轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的右支．答案－＝1(x>0)5．F1、F2是双曲线－＝1的两个焦点，M是双曲线上一点，且|MF1|·|MF2|＝32，则△F1MF2的面积为________．解析由题意可得双曲线的两个焦点是F1(0，－5)、F2(0，5)，由双曲线定义得，||MF1|－|MF2||＝6，联立|MF1|·|MF2|＝32，得|MF1|2＋|MF2|2＝100＝|F1F2|2，所以△F1MF2是直角三角形，从而其面积为S＝|MF1|·|MF2|＝16.答案166．求与双曲线－＝1有相同焦点且过点P(2，1)的双曲线方程．解由题意，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．∵两双曲线有相同焦点，∴a2＋b2＝c2＝4＋2.①又点P(2，1)在双曲线－＝1上．∴－＝1.②由①、②联立，得a2＝b2＝3.故所求双曲线方程为－＝1.7．椭圆＋＝1与双曲线－x2＝1有公共点P，则P与双曲线两焦点连线构成三角形面积为()．A．4B．5C．5D．3解析椭圆焦点为F1(0，－4)，F2(0，4)与双曲线焦点相同，由椭圆及双曲线定义，设P在第一象限，则∴又＝8，则cos∠F1PF2＝，∴S△PF1F2＝(5＋)×(5－)×＝3.答案D8．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值是()．A．2B．1C.D．3解析∵双曲线的标准方程为－＝1，∴a>0，焦点在x轴上，∴a＋2＝4－a2，即a2＋a－2＝0，解得a＝1，a＝－2(舍去)．∴a＝1.答案B9．求与圆A：(x＋5)2＋y2＝49和圆B：(x－5)2＋y2＝1都外切的圆的圆心P的轨迹方程为________．解析因圆A与圆B外离，设圆P的半径为r，则|PA|＝7＋r，|PB|＝1＋r，∴|PA|>|PB|，∴|PA|－|PB|＝6，而|AB|＝10.∴P轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支，c＝5，a＝3，∴b2＝c2－a2＝16，∴方程为－＝1(x≥3)．答案－＝1(x≥3)10．已知P是双曲线－＝1上一点，F1，F2是双曲线的两个焦点，若|PF1|＝17，则|PF2|的值为________．解析由双曲线方程－＝1知，a＝8，b＝6，∴c＝＝10.∵P是双曲线上一点，∴||PF1|－|PF2||＝16，∴|PF2|＝1或|PF2|＝33.又∵|PF2|≥c－a＝2，∴|PF2|＝33.答案3311．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)a＝4，经过点A；(2)焦点在y轴上，且过点(3，－4)，.解(1)若所求的双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，将a＝4代入，得－＝1.又点A在双曲线上，∴－＝1，由此得b2<0，不合题意舍去；若所求的双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，同上解得b2＝9.∴双曲线方程为－＝1.(2)设所求双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则因为点(3，－4)，在双曲线上，所以点的坐标满足方程，由此得令m＝，n＝，则方程组化为解此方程组得∴a2＝16，b2＝9.故所求双曲线方程为－＝1.12．(创新拓展)椭圆＋y2＝1(m>1)与双曲线－y2＝1(n>0)有公共焦点F1、F2，P是它们的一个交点，求△F1PF2的面积．解根据椭圆与双曲线焦点都在x轴上，不妨设P在第一象限，F1是左焦点，F2是右焦点，则由椭圆与双曲线定义有可解得|PF1|＝m＋n，|PF2|＝m－n，即|PF1|2＋|PF2|2＝2(m2＋n2)．又∵两者有公共焦点，设半焦距为c.则m2－1＝c2，n2＋1＝c2，∴m2＋n2＝2c2.|∴F1F2|2＝4c2＝2(m2＋n2)，|∴F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2，∴∠F1PF2＝90°.又∵m2－1＝n2＋1＝c2，∴m2－n2＝2.∴S△F1PF2＝|PF1||PF2|＝[(|PF1|＋|PF2|)2－(|PF1|－|PF2|)2]＝(m2－n2)＝1.所以△F1PF2的面积为1.
