第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第三节平面向量的数量积与平面向量的应用举例抓基础明考向提能力教你一招我来演练[备考方向要明了]考什么1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．5.会用向量方法解决简单的平面几何问题．6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.怎么考平面向量的数量积是每年高考必考的知识点之一，考查重点是向量的数量积运算，向量的垂直以及用向量方法解决简单的几何问题等，既有选择题，填空题，又有解答题，属中低档题目．近几年试题中与平面几何、三角、解析几何知识交汇命题的综合题是高考的一个热点，主要考查运算能力和数形结合思想.一、两个向量的夹角1．夹角的定义：定义范围已知两个向量a，b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角(如图)．OA�OB�非零向量夹角θ的范围是,当θ＝时，两向量共线；当θ＝时，两向量垂直，记作a⊥b(规定零向量可与任一向量垂直).0或ππ2[0，π]2．射影的定义：设θ是a与b的夹角，则叫作向量b在a方向上的射影．叫作a在b方向上的射影．射影是一个实数，不是线段的长度，也不是向量．当时，它是正值；当时，它是负值；当时，它是0.3．平面向量数量积的定义：已知两个向量a和b，它们的夹角为θ，把叫作a与b的数量积(或内积)，记作.θ为锐角θ为钝角|a||b|cosθa·b|b|cosθ|a|cosθθ＝90°4．数量积的几何意义：a与b的数量积等于的乘积，或的乘积．5．数量积的物理意义：力对物体做功，就是.a的长度|a|与b在a方向上射影|b|cosθb的长度|b|与a在b方向上射影|a|cosθ力F与其作用下物体的位移s的数量积F·s二、向量数量积的性质1．如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝．5．|a·b||a||b|.4．cosθ＝(θ为a与b的夹角).3．a·a＝，|a|＝.2．a⊥b⇒.|a|cosθ(θ为a与e的夹角)a·b＝0|a|2a·aa·b|a||b|≤三、数量积的运算律1．交换律a·b＝.3．分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.2．对λ∈R，λ(a·b)＝＝．b·a(λa)·ba·(λb)四、数量积的坐标运算设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则1．a·b＝.a1b1＋a2b22．a⊥b⇔.3．|a|＝.4．cosθ＝(θ为a与b的夹角).a1b1＋a2b2＝0a21＋a22a1b1＋a2b2a21＋a22b21＋b221．已知向量a，b和实数λ，下列选项中错误的是()A．|a|＝a·aB．|a·b|＝|a|·|b|C．λ(a·b)＝λa·bD．|a·b|≤|a|·|b|解析：|a·b|＝|a|·|b||cosθ|，只有a与b共线时，才有|a·b|＝|a||b|，可知B是错误的．答案：B2．(2011·辽宁高考)已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝()A．－12B．－6C．6D．12答案：D解析： 2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0∴10＋2－k＝0，解得k＝12.3．已知|a|＝4，|b|＝3，a与b的夹角为120°，则b在a方向上的射影为()A．2B.32C．－2D．－32答案：D解析：|b|cosθ＝3cos120°＝－32.4．已知OA�＝(－1,2)，OB�＝(3，m)，OA�⊥AB�，则实数m＝________.解析： OA�＝(－1,2)，OB�＝(3，m)，∴AB�＝(4，m－2)． OA�⊥AB�，∴－4＋2(m－2)＝0，∴m＝4.答案：45．(2011·安徽高考)已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为________．解析：设a与b的夹角为θ，依题意有(a＋2b)·(a－b)＝a2＋a·b－2b2＝－7＋2cosθ＝－6，所以cosθ＝12，因为0≤θ≤π，所以θ＝π3.答案：π31．对两向量夹角的理解(1)两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角．(2)两向量夹角的范围为[0，π]，特别当两向量共线且同向时，其夹角为0，共线且反向时，其夹角为π.(3)在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两向量夹角的范围．2．相关概念及运算的区别(1)若a、b为实数，且a·b＝0，则有a＝0或b＝0，但a·b＝0却不能得出a＝0或b＝0.(2)若a、b、c∈R，且a≠0，则由ab＝ac可得b＝c，但由a·b＝a·c及a≠0却不能推出b＝c.(3)...
