1/11第十二章数项级数证明题1．证明下列级数的收敛性,并求其和:(1)1)4)(5n(5n111.1616.1111.61;(2)nn22312131213121;(3)2)1)(nn(n1;(4))n1n22n(;(5)n212n.2.证明:若级数nu发散,则nCu也发散(c≠0).3.证明:若数列{an}收敛于a,则级数a-a)a(a11nn.4．证明:若数列{bn}有nnblim,则(1)级数)b(bn1n发散;2/11(2)当bn≠0时,级数11nb1b1n15.证明级数nu收敛的充要条件是:任给正数ε,有某自然数N,对一切n>N总有|uN+un+1+⋯+un|<ε6.设nnv、u为正项级数,且存在正数N0,对一切n>N0,有n1nn1nvvuu7.设正项级数na收敛,证明级数2na也收敛;试问反之是否成立?8.设an≥0,且数列{nan}有界，证明级数2na收敛.9.设正项级数nu收敛,证明级数1nnuu也收敛.10.证明下列极限:(1)0)(n!nlim2nn;(2)1)0(aa)(2n!limn!n.3/1111.设{an}为递减正项数列,证明:级数1nna与0m2mma2同时收敛或同时发散.12.设an>0,bn>0,Cn=bn1nnaabn+1,证明:(1)若存在某自然数N0及常数K,当n>N0时,有Cn≥k>0,则级数1nna收敛;(2)若n>N0时有Cn≤0,且n1kknb1lim,则级数1nna发散.13.设级数2na收敛,证明级数0)(anann也收敛.14.设an>0,证明数列{(1+a1)(1+a2)⋯(1+an)}与级数na同时收敛或同时发散.15.应用阿贝耳判别法或狄利克雷判别法判断下列级数的收敛性:(1)0)(x,x1xn1)(nnn;4/11(2)0)(α(0,2π0,x,nsinnxα;(3)nncos1)(2n.16.设an>0,an>an+1(n=1,2,⋯)且nliman=0,证明级数naaa1)(n211n是收敛的.17.设2u|u|g,2u|u|pnnnnnn,证明:若nu条件收敛,则级数np与nq都是发散的.二、计算题1.试讨论几何级数(也称为等比级数)a+r+ar2+⋯+arn+⋯(a≠0)的敛散性.2.设级数nu与nv都发散,试问)v(unn一定发散吗?又若un与vn(n=1,2,⋯)都是非负数,则能得出什么结论?3.求下列级数的和:(1)n)1)(an(a1;5/11(2)1)n(n12n1)(1n;(3)1]1)1)[(n(n12n22.4.应用柯西准则判别下列级数的敛散性:(1)nn2sin2;(2)12nn(-1)221-n;(3)n(-1)n;(4)2nn1.5.应用比较原则判别下列级数的敛散性.(1)22an1;(2)nn3πsin2;(3)2n11;(4)2nn(lnn)1;(5)n1cos1;6/11(6)nnn1;(7)0)(a,2n1an1a;(8)2nlnn(lnn)1.6.用积分判别法讨论下列级数的敛散性:(1)1n12;(2)1nn2;(3)3n)nlnnln(lnn1;(4)3nqp(lnlnn)n(lnn)1.7.判别下列级数的敛散性:(1)nnnn!3;(2)2n2nn2;7/11(3)2nlnn1;(4)1)(a1),a(n;(5)12n12n421)(2n31;(6)0)(x,n)(x1)(xn!.8.求下列极限(其中P>1):(1)pppn(2n)12)(n11)(n1lim;(2)2n2n1nnp1p1p1lim.9.下列级数哪些是绝对收敛,条件收敛或发散的:(1)n!sinnx;(2)1nn1)(n;(3)n1pnn1)(;8/11(4)n2sin1)(n;(5))n1n1)((n;(6)1n1)(nl1)(nn;(7)nn)13n1002n(1)(;(8)n)nx(n!;(9)1n)2x(0lnnsinnx;(10)nn11)(.10.写出下列级数的乘积:(1)1n1n1nnx1)(nx;(2)0nn0nn!1)(n!1三、考研复习题1.证明:若正项级数nu收敛,且数列{un}单调,则0ulimnn.9/112.若级数na与nC都收敛,且成立不等式an≤bn≤Cn(n=1,2,⋯)证明级数nb也收敛.若级数na,nC都发散,试问nb一定发散吗?3.若0kbalimnnn,且级数nb收敛,证明级数na也收敛.若上述条件中只知道nb收敛,能推得na收敛吗?4.(1)设nu为正项级数,且n1nuu<1,能否断定级数nu收敛?(2)对于级数nu有|n1nuu|≥1,能否断定级数nu不绝对收敛,但可能条件收敛.(3)设nu为收敛的正项级数,能否存在一个正数ε,使得0Cn1ulimε1nn5.证明:若级数na收敛,)b(bn1n绝对收敛,则级数10/11nnba也收敛.6.证明级数bna1是发散的.7.讨论级数2npn(lnn)1,(p>0)的敛散性.8.设an>0,证明级数)a(1)a)(1a(1an21n是收敛的.9.证明:若级数2na与2nb收敛,则级数nnba和2nn)b(a也收敛,且2n2n2nnbaba212n212n212nnbaba10.证明:(1)设na为正项级数,若11/110,aauulim1nn1nnn则正项级数nu收敛,(2)若级数na1发散,且0aauulim1nn1nnn,则正项级数nu发散.
