第57讲二项式定理课时达标一、选择题1．二项式10的展开式中的常数项是()A．180B．90C．45D．360A解析10的展开式的通项为Tk＋1＝C·()10－k·k＝，令5－k＝0，得k＝2，故常数项为22C＝180.2．设n为正整数，2n展开式中存在常数项，则n的一个可能取值为()A．16B．10C．4D．2B解析2n展开式的通项公式为Tk＋1＝Cx2n－k·k＝，令＝0，得k＝，依据选项知n可取10.3．(2019·漳州三模)已知(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9＋a10x10，则a2＋a3＋…＋a9＋a10的值为()A．－20B．0C．1D．20D解析令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a9＋a10＝1，再令x＝0，得a0＝1，所以，a1＋a2＋…＋a9＋a10＝0，又易知a1＝C×21×(－1)9＝－20，所以a2＋a3＋…＋a9＋a10＝20.4．已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，则a8＝()A．－5B．5C．90D．180D解析因为(1＋x)10＝[2－(1－x)]10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，所以a8＝C×22×(－1)8＝180，故选D.5．若(＋)5展开式的第三项为10，则y关于x的函数图象的大致形状为()D解析(＋)5的展开式的通项为Tr＋1＝，则T3＝Cxy＝10，即xy＝1，由题意知x≥0，故D选项的图象符合．6．在(2x＋xlgx)8的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1120，则x＝()A．1B.C．1或D．－1C解析二项式系数最大的项为第5项，由题意可知T5＝C(2x)4·(xlgx)4＝1120，所以x4(1＋lgx)＝1，两边取对数可知lg2x＋lgx＝0，得lgx＝0或lgx＝－1，故x＝1或x＝.二、填空题7．(2017·浙江卷)已知多项式(x＋1)3(x＋2)2＝x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，则a4＝________，a5＝________.解析由题意知a4为展开式含x的项的系数，根据二项式定理得a4＝C×12×C×22＋C×13×C×2＝16，a5是常数项，所以a5＝C×13×C×22＝4.答案1648．(2018·全国卷Ⅲ)(x2＋)5的展开式中，含x4项的系数是________(用数字填写答案)．解析由(x2＋)5得Tr＋1＝C(x2)5－r()r＝2rCx10－3r，令10－3r＝4得r＝2，此时系数为40.答案409．若二项式n的展开式中的常数项是80，则该展开式的二项式系数之和等于________．解析对于Tr＋1＝C()n－rr＝，当r＝n时展开式为常数项，因此n为5的倍数，不妨设n＝5m，则有r＝3m，则23mC＝80，因此m＝1，则该展开式中的二项式系数之和等于2n＝25＝32.答案32三、解答题10．已知在n的展开式中，第6项为常数项．(1)求n；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．解析(1)依题意知n的展开式的通项为Tr＋1＝C()n－rr＝r，又第6项为常数项，则当r＝5时，＝0，即＝0，解得n＝10.(2)由(1)得Tr＋1＝r，令＝2，解得r＝2，故含x2的项的系数为2C＝.(3)若Tr＋1为有理项，则有∈Z，且0≤r≤10，r∈Z，故r＝2,5,8，则展开式中的有理项分别为T3＝C2x2＝x2，T6＝C5＝－，T9＝C8x－2＝x－2.11．已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.解析令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1.①令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.②(1)因为a0＝C＝1，所以a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2.(2)(①－②)÷2，得a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1094.(3)(①＋②)÷2，得a0＋a2＋a4＋a6＝＝1093.(4)因为(1－2x)7展开式中a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)＝1093－(－1094)＝2187.12．已知n，求：(1)展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．解析(1)因为C＋C＝2C，所以n2－21n＋98＝0，所以n＝7或n＝14.当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.T4的系数为C423＝，T5的系数为C324＝70；当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8.T8的系数为C727＝3432.(2)因为C＋C＋C＝79，所以n2＋n－156＝0.所以n＝12或n＝－13(舍去)．设Tk＋1项的系数最大，因为12＝12(1＋4x)12，所以所以9.4≤k≤10.4，因为k∈N，所以k＝10.所以展开式中系数最大的项为T11，T11＝C·2·210·x10＝16896x10.13．[选做题](2019·扬州中学月考)设函数f(x，n)＝(1＋x)n(n∈N*)．(1)求f(x,6)的展开式中系数最大的项；(2)若f(i，n)＝32i(i为虚数单位)，求C－C＋C－C＋C.解析(1)展开式中系数最大的项是第4项T4＝Cx3＝20x3.(2)由已知(1＋i)n＝32i，两边取模，得()n＝32，所以n＝10.所以C－C＋C－C＋C＝C－C＋C－C＋C.而(1＋i)10＝C＋Ci＋Ci2＋…＋Ci9＋Ci10＝(C－C＋C－C＋C－C)＋(C－C＋C－C＋C)i＝32i，所以C－C＋C－C＋C＝32.
